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• 本专栏主要记录本人的动态规划算法学习以及LeetCode刷题记录，按专题划分
• 每题主要记录：（1）本人解法 + 本人屎山代码；（2）优质解法 + 优质代码；（3）精益求精，更好的解法和独特的思想（如果有的话）
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132. 分割回文串 II

题目链接：https://leetcode.cn/problems/palindrome-partitioning-ii/description/

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优质解

思路：

• 对表示是否是回文子串的 isPal 数组再做一次 dp
• dp[i]: s[0 - i] 中要分割的最少次数
• 我们可以把串分成：[0 - j-1] 和 [j - i]，而 dp[j - 1] 可以表示以 j - 1 结尾的子串分割的最小次数（已知）
• 所以 j 遍历：1 <= j <= i,
  • 如果 [j - i] 可以构成回文串: dp[i] = dp[j - 1] + 1,
  • 不能构成: 跳过(迟早到 i == j 的时候会构成回文)
  • 取循环中得到的 dp[i] 的最小值

代码：

class Solution {
public:int minCut(string s) {int n = s.size();vector<vector<bool>> isPal(n, vector<bool>(n, 0));for(int i = n - 1; i >= 0; i--){for(int j = i; j < n; j++){if(s[i] == s[j])isPal[i][j] = i + 1 < j ? isPal[i + 1][j - 1] : true;}}// 对 isPal 做 dpvector<int> dp(n, INT_MAX / 2);for(int i = 0; i < n; i++){if(isPal[0][i]) dp[i] = 0; // 判断 0 - ielse{for(int j = 1; j <= i; j++){if(isPal[j][i])dp[i] = min(dp[i], dp[j - 1] + 1);}}}return dp[n - 1];}
};

时间复杂度：$O(n^2)$
空间复杂度：$O(n^2)$

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516. 最长回文子序列

题目链接：https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-subsequence/description/

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优质解

思路

状态表示

• dp[i][j]: [i, j]区间内的所有子序列中，最长的回文子序列

状态转移方程

• if s[i] == s[j], 那 dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 1;
  • 无效区间(越界), i + 1 < j : dp[i][i] = 字符个数;
• if s[i] != s[j] (代表两端不会同时对构成回文子序列有帮助)
  • 去[i + 1, j] 和 [i, j - 1] 两个区间找: max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);

初始化:

• 发现只有[0][0] 和 [i - 1][i - 1] 会越界(但是状态转移方程已经处理了)
  填表顺序

填表顺序

• 看状态转移需要什么位置的 dp 值
  • 整体行: 从下到上(因为需要 i - 1),
  • 每一行内部: 从左往右(因为要 j - 1)

返回值

• dp[0][n - 1];

代码：

class Solution {
public:int longestPalindromeSubseq(string s) {int n = s.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));for(int i = n - 1; i >= 0; i--){dp[i][i] = 1; // 初始化for(int j = i + 1; j < n; j++) // 枚举右端{if(s[i] == s[j])dp[i][j] = i + 1 == j ? 2 : dp[i + 1][j - 1] + 2;else dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);}}return dp[0][n - 1];}
};

时间复杂度：$O(n^2)$
空间复杂度：$O(n^2)$

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1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数

题目链接：https://leetcode.cn/problems/minimum-insertion-steps-to-make-a-string-palindrome/description/

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优质解

思路：

• 总体思路和上一题都差不多
• 状态表示：dp[i][j]：[i, j]区间的子串，成为回文串的最小插入次数
• 状态转移方程：s[i] == s[j]...不多说了，s[i] != s[j]...
• 细节问题不说了

代码：

class Solution {
public:int minInsertions(string s) {int n = s.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, INT_MAX));for(int i = n - 1; i >= 0; i--){dp[i][i] = 0;for(int j = i + 1; j < n; j++){if(s[i] == s[j])dp[i][j] = i + 1 == j? 0 : dp[i + 1][j - 1];elsedp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;}}return dp[0][n - 1];}
};

时间复杂度：$O(n^2)$
空间复杂度：$O(n^2)$

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