烟幕干扰弹主要通过化学燃烧或爆炸分散形成烟幕或气溶胶云团,在目标前方特定空域形成遮蔽，干扰敌方导弹，具有成本低、效费比高等优点。随着烟幕干扰技术的不断发展，现已有多种投放方式完成烟幕干扰弹的定点精确抛撒,即在抛撒前能精确控制烟幕干扰弹到达预定位置，通过时间引信时序控制起爆时间。
现考虑运用无人机完成烟幕干扰弹的投放策略问题。具有长续航能力的无人机挂载某型烟幕干扰弹在特定空域巡飞，受领任务后，无人机投放烟幕干扰弹在来袭武器和保护目标之间形成烟幕遮蔽。每架无人机投放两枚烟幕干扰弹至少间隔1s。烟幕干扰弹脱离无人机后，在重力作用下运动。烟幕干扰弹起爆后瞬时形成球状烟幕云团，由于采用特定技术，该烟幕云团以3 m/s的速度匀速下沉。据试验数据知，云团中心 10 m范围内的烟幕浓度在起爆 20s内可为目标提供有效遮蔽。
来袭武器为空地导弹，该型导弹飞行速度 300 m/s。导弹的飞行方向直指一个为掩护某半径 7m、高 10m 的圆柱形固定目标而专门设置的假目标。以假目标为原点，水平面为 xy平面，真目标下底面的圆心为(0,200,0)。警戒雷达发现来袭导弹时，3 枚导弹 M1、M2.M3 分别位于(20000,0,2000)、(19000,600,2100)、(18000,-600,1900);5 架无人机的位置信息分别为 FY1(17800,0,1800)、FY2(12000,1400,1400)、FY3(6000,-3000,700)、FY4(11000,2000,1800)、FY5(13000,-2000,1300)。
在导弹来袭过程中，通过投放烟幕干扰弹尽量避免来袭导弹发现真目标。控制中心在警戒雷达发现目标时，立即向无人机指派任务。无人机受领任务后，可根据需要瞬时调整飞行方向，然后以 70~140 m/s 的速度等高度匀速直线飞行。每架无人机的航向、速度可不相同，
但一旦确定就不再调整。为实现更为有效的烟幕干扰效果，需设计烟幕干扰弹的投放策略,主要包括无人机飞行方向、飞行速度、烟幕干扰弹投放点、烟幕干扰弹起爆点等。请建立数学模型，针对不同情形，分别设计烟幕干扰弹的投放策略，使得多枚烟幕干扰弹对真目标的有效遮蔽时间尽可能长。不同烟幕干扰弹的遮蔽可不连续。
问题1 利用无人机 FY1 投放1枚烟幕干扰弹实施对 M1 的干扰,若 FY1以 120m/s 的速度朝向假目标方向飞行，受领任务 15s后即投放1枚烟幕干扰弹，间隔 3.6s后起爆。请给出烟幕干扰弹对 M1的有效遮蔽时长。
问题一模型的建立与求解
5.1 问题背景分析
无人机FY1需要向来袭导弹M1投放烟幕干扰弹，干扰弹的作用是通过在导弹与目标之间形成烟幕遮蔽，防止导弹锁定真目标。在此过程中，关键因素包括：
无人机的飞行速度和方向。
烟幕干扰弹的投放时间与起爆时间。
烟幕云团的下沉速度与有效遮蔽范围。
导弹的飞行轨迹和速度。
5.1.1 烟幕云团的特性
烟幕云团的下沉速度是3 m/s，且在起爆后的20秒内，在烟幕中心10米范围内对目标有效。假设烟幕云团的作用范围是球形的，且遮蔽效果在20秒内持续。烟幕的遮蔽效果的持续时间为20秒。
5.1.2 导弹的飞行轨迹
导弹M1的飞行速度为300 m/s，飞行方向直指假目标，起始位置为(20000, 0, 2000)，目标位置为(0, 200, 0)。导弹飞行的路径是直线轨迹，飞行方向和时间可以通过目标位置与初始位置的矢量来计算。
5.2 无人机的飞行轨迹与烟幕投放
5.2.1 无人机的飞行速度和方向
无人机FY1的飞行速度为120 m/s，飞行方向为朝向假目标的方向。假目标的位置为(0, 200, 0)，FY1的起始位置为(17800, 0, 1800)。可以通过这些数据计算出无人机的飞行方向向量。
无人机的飞行方向向量是从FY1到假目标的向量，可以表示为：
飞行速度是120 m/s，飞行方向单位化后乘以速度得到无人机的速度向量。
5.2.2 烟幕干扰弹的投放点与起爆点
根据题目描述，FY1在受领任务1.5秒后投放烟幕干扰弹，且烟幕干扰弹投放与起爆之间的时间间隔为3.6秒。烟幕干扰弹的投放位置可以通过无人机的当前位置加上飞行的时间来计算。
烟幕干扰弹的下落与飞行是独立的，且下落速度为3 m/s。烟幕干扰弹的有效遮蔽时间为20秒，即在20秒内，烟幕云团对目标形成遮蔽效果。
5.3 数学建模
5.3.1 无人机的飞行轨迹
根据无人机的初始位置和飞行速度，可以计算出无人机在某一时刻的位置。设无人机FY1的初始位置为，飞行速度为v = 120 ，飞行方向为单位向量，则无人机在时间 t 时刻的位置为：
其中分别是飞行方向单位向量的分量。
5.3.2 导弹的飞行轨迹
5.3.3 烟幕干扰弹的起爆与遮蔽时间
烟幕干扰弹的起爆时间为投放后3.6秒，起爆后烟幕云团以3 m/s的速度下沉。假设烟幕的有效遮蔽时间为20秒，那么烟幕云团的中心位置随着时间的变化是：
其中是烟幕干扰弹投放点的高度，是烟幕干扰弹的投放时间。
烟幕对目标的有效遮蔽时间取决于导弹与烟幕云团的相对位置，当导弹进入烟幕的有效遮蔽范围时，烟幕的遮蔽作用开始，直到导弹脱离有效遮蔽范围为止。
5.3.4 有效遮蔽时间的计算
导弹与烟幕云团的有效遮蔽时间可以通过计算导弹轨迹与烟幕云团的相对距离来求得。当导弹进入烟幕云团的有效遮蔽范围时，烟幕开始生效。假设烟幕云团的遮蔽范围为10米，当导弹进入该范围时，开始计算有效遮蔽时间。
5.4 问题一的求解与分析
问题2 利用无人机 FY1 投放1枚烟幕干扰弹实施对 M1 的干扰，确定 FY1 的飞行方向、飞行速度、烟幕干扰弹投放点、烟幕干扰弹起爆点，使得遮蔽时间尽可能长。
- 问题二模型的建立与求解
6.1 建模框架
在本问题中，我们需要设计一种优化策略，使得无人机投放的烟幕干扰弹能够在导弹飞行过程中最大化遮蔽时间。为此，我们需要考虑以下几个方面：
导弹的飞行轨迹：导弹M1是从目标区域飞向假目标区域的高速飞行物，其速度为300 m/s。导弹的飞行轨迹应该是直线型的，因此可以通过简单的线性运动方程进行建模。
- 无人机的飞行轨迹：无人机FY1的飞行方向、速度、飞行路径是关键因素。我们将通过优化无人机的飞行方向和速度来最大化烟幕干扰弹的有效遮蔽时间。
- 烟幕的物理特性：烟幕干扰弹在投放后会在起爆后以3 m/s的速度下沉。我们还假设烟幕的有效遮蔽时间为20秒，并且遮蔽范围是一个以烟幕起爆点为中心的球形区域，随着时间的推移，烟幕的遮蔽范围逐渐增大。
- 优化目标：我们的优化目标是通过调整无人机的飞行路径和烟幕的起爆点，使得烟幕能够覆盖导弹在飞行过程中尽可能长的时间，从而实现更高效的干扰。
6.2 导弹的飞行轨迹建模
6.3 无人机的飞行轨迹建模
无人机FY1的飞行速度为，其初始位置为 ，飞行方向为 ，这两个参数将决定无人机的轨迹。无人机的飞行轨迹可以用下列参数化方程来表示：
其中，是无人机的飞行方向单位向量，是无人机的飞行速度。无人机的飞行路径将受到飞行速度、方向和飞行时间的影响。我们的目标是通过优化无人机的飞行路径，使得无人机能够合理地投放烟幕干扰弹。
6 4. 烟幕干扰弹的投放和扩展模型
烟幕干扰弹的投放由无人机控制，其在投放后会根据重力下沉，速度为 3 m/s。假设烟幕干扰弹在投放后的秒内起爆，并开始扩展。烟幕的扩展是一个渐变的过程，在秒内，烟幕的半径会随着时间增加。我们可以用如下公式来表示烟幕扩展的半径：
其中，是烟幕的初始半径，通常为0，是烟幕的扩展速度。
烟幕在起爆后的有效遮蔽时间为 20 秒。烟幕的有效遮蔽范围随着时间的推移逐渐增大，且烟幕形成的区域是一个球形区域，中心位于烟幕的起爆点，半径随时间变化。
6.5 导弹与烟幕的遮蔽关系
6.6 优化目标与优化问题
我们希望最大化导弹的有效遮蔽时间，这意味着我们需要优化无人机的飞行方向、飞行速度、烟幕的投放点以及起爆时间等因素。优化目标可以表示为：
6.7 问题二的求解与分析
问题3利用无人机 FY1 投放 3枚烟幕干扰弹，实施对 M1的干扰。请给出烟幕干扰弹的投放策略，并将结果保存到文件result1.xlsx 中(模板文件见附件)。
问题 4 利用 FY1、FY2、FY3 等3架无人机，各投放1枚烟幕干扰弹，实施对 M1的干扰。请给出烟幕干扰弹的投放策略，并将结果保存到文件 result2.xlsx 中(模板文件见附件)。
问题5 利用5架无人机，每架无人机至多投放3枚烟幕干扰弹，实施对 M1、M2、M3等3枚来袭导弹的干扰。请给出烟幕干扰弹的投放策略,并将结果保存到文件 result3.xlsx 中(模板文件见附件)。
完整成品展示：
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