十一、方程组解的结构和性质

1、齐次线性方程组

方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$ （Ⅰ）

称为m个方程，n个未知量的齐次线性方程组

（1）有解的条件

①当r(A) = n(${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_n$线性无关)时，方程组（Ⅰ）有唯一零解

②当r(A) = r < n(${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_n$线性相关)时，方程组（Ⅰ）有非零解（无穷多解），且有n-r个线性无关解

（2）求解方法

①将系数矩阵A作初等行变换化为行阶梯形矩阵B，求出r(A)

②按列找出一个秩为r的子矩阵，剩余列位置的未知数设为自由变量 n - r(A)个自由变量

③ 按基础解系定义求出 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ ，并写出通解。

2、非齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$ （Ⅱ）

称为m个方程，n个未知量的非齐次线性方程组

（1）有解的条件

①若r(A)≠r([A,b])（b不能由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_n$线性表示），则方程组（Ⅱ）无解

②若r(A)＝r([A,b]) = n（即${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_n$线性无关，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ，{\alpha }_n，b$线性相关），则方程组（Ⅱ）有唯一解

③若r(A)＝r([A,b]) < n，则方程组（Ⅱ）有无穷多解

（2）求解方法

① 写出 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的导出方程组 $A\mathbf{x}=0$ ，并求 $A\mathbf{x}=0$ 的通解：

$$\mathbf{x}=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r}$$

② 求 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一个特解 $\mathbf{\eta }$

③非齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的通解为：
$$\mathbf{x}=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r}+\mathbf{\eta }$$

其中 $k_1,k_2,\dots ,k_{n-r}$为任意常数

十二、Ax=0的基础解系

设 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 满足以下充要条件，则称 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 为齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$ 的基础解系：

1. 是方程组的解：

   ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 均满足 $A\mathbf{x}=0$（即属于解空间）；

2. 线性无关：

   ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 作为向量组线性无关（是解空间的一组“基”的候选）；

3. 能表示所有解：

   方程组 $A\mathbf{x}=0$的任一解都可由 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 线性表示（即它们构成解空间的一组基）。

十三、两个方程组的公共解

已知线性方程组：
$$\{\begin{array}{ll}\text{(I)}& \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0,\\ x_2-x_4=0\end{array}\\ \text{(II)}& \{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3=0,\\ x_2-x_3+x_4=0\end{array}\end{array}$$

(1) 求方程组 (I)、(II) 的基础解系

(2) 求方程组 (I)、(II) 的公共解

【解】

(1)

方程组 (I)的基础解析为
$${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

方程组(II)的基础解析为

$${\mathbf{\eta }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\eta }}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

（2）

方法一：联立方程

联立后的系数矩阵为：

$\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& -1\\ 1& -1& 1& 0\\ 0& 1& -1& 1\end{array}\right]$

对矩阵作初等行变换

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

因此方程组 (I)、(II)的公共解为

$\mathbf{x}=k\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\\ 1\end{array}\right],k\in \mathbb{R}$

方法二：通解代入

在方程组 (I) 的通解中，筛选出同时满足方程组 (II) 的解，即为 (I)、(II) 的公共解（也可在 (II) 的通解中筛选满足 (I) 的解 ）

已知方程组 (I) 的基础解系为 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2$ ，因此其通解为：

$\mathbf{x}=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2=k_1\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-k_2\\ k_2\\ k_1\\ k_2\end{array}\right]$

（其中 $k_1,k_2\in \mathbb{R}$ 为任意常数 ）

将通解 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-k_2\\ k_2\\ k_1\\ k_2\end{array}\right]代入方程组(II)$：

$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3=0,\\ x_2-x_3+x_4=0\end{array}$

代入第1个方程：

$(-k_2)-k_2+k_1=0⟹k_1-2k_2=0⟹k_1=2k_2$

代入第2个方程：

$k_2-k_1+k_2=0⟹2k_2-k_1=0$

结合 $k_1 = 2k_2 $，得方程组(I)、(II) 的公共解为

$\mathbf{x}=k_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\\ 1\end{array}\right],k_2\in \mathbb{R}$

方法三：通解相等

$(I)的通解：k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2=k_1\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-k_2\\ k_2\\ k_1\\ k_2\end{array}\right]$

$(II)的通解：l_1{\mathbf{\eta }}_1+l_2{\mathbf{\eta }}_2=l_1\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+l_2\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-l_2\\ l_1-l_2\\ l_1\\ l_2\end{array}\right]$

由上式可得$k_2=l_2,k_2=l_1-l_2,k_1=l_1$

故

$k_1=2k_2$ 或 $l_1=2l_2$

因此公共解为

$\mathbf{x}=k_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\\ 1\end{array}\right],k_2\in \mathbb{R}$

或

$\mathbf{x}=l_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\\ 1\end{array}\right],l_2\in \mathbb{R}$

十四、同解方程

$A\mathbf{x}=0$ 与 $B\mathbf{x}=0$ 同解

<=> 基础解系为等价向量组

<=>$A、B$行向量组为等价向量组

<=> $A\mathbf{x}=0$的解均为$B\mathbf{x}=0$的解且 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$

<=>$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})=r\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)$

十五、求特征值、特征向量

方法一：|λE-A|=0，求λ，回代$({\lambda }_{i}E-A)x=0$求α

方法二：常用结论

1. 行列式与迹（对 n 阶矩阵 $\mathbf{A}，{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$为特征值 ）

   • $|\mathbf{A}|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$（行列式等于特征值之积 ）
   • $\text{tr}(\mathbf{A})={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$（迹等于特征值之和 ）

2. 多项式矩阵的特征值（若 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$，则 ）

   对多项式 $f(x)$，有：

   $$f(\mathbf{A})\mathbf{\alpha }=f(\lambda )\mathbf{\alpha }$$

   具体应用：

   • ${\mathbf{A}}^k\mathbf{\alpha }={\lambda }^k\mathbf{\alpha }$（$k$ 次幂 ）
   • $(\mathbf{A}+k\mathbf{E})\mathbf{\alpha }=(\lambda +k)\mathbf{\alpha }$（加数量矩阵 ）
   • 若 $\mathbf{A}$ 可逆，则 ${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{\lambda }\mathbf{\alpha }$，${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{\alpha }=\frac{|\mathbf{A}|}{\lambda }\mathbf{\alpha }$（伴随矩阵 ）
   • 相似变换：${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$（相似矩阵特征值相同，特征向量变换为 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{\alpha }$ ）

3. 特殊特征值

   • 若 $\mathbf{A}$ 为对合矩阵（${\mathbf{A}}^2=\mathbf{E}$ ），则 $\lambda =\pm 1$
   • 若 $\mathbf{A}$ 行和为 $ a $，则 $\lambda =a$ 是一个特征值，对应特征向量 $\mathbf{\alpha }=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$（所有分量为1 ）

4. 特征值的重数

   若 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\lambda \mathbf{B}$ 且 $\mathbf{B}\ne 0$，则 $\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值，且 $\mathbf{B}$ 的非零列是对应特征向量；若 $\mathbf{B}$ 有 $n$ 个线性无关列满足，则 $\lambda$ 至少是 $n$ 重特征值

5. 二次型与特征值

   • 二次型 $f={\mathbf{x}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 经正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$ 化为标准型 ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$，其中 ${\lambda }_i$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值

6. 相似矩阵的特征值

   若 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$（相似 ），则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 特征值完全相同（包括重数 ），但特征向量不同（满足 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }⟺\mathbf{B}({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{\alpha })=\lambda ({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{\alpha })$，$\mathbf{P}$ 为相似变换矩阵 ）

十六、判断A能否相似对角化

方法一：基于特征值和特征向量的个数判断（适用于一般矩阵）

• 判断条件：n阶矩阵$\mathbf{A}$可相似对角化的充分必要条件是$\mathbf{A}$有n个线性无关的特征向量。
• 具体步骤
  1. 计算特征值：根据特征方程$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=0$ ，求出矩阵$\mathbf{A}$的所有特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_s$，以及它们对应的代数重数$n_1,n_2,\cdots ,n_s$（特征值${\lambda }_i$的代数重数是指它在特征方程的根中出现的重数，且$n_1+n_2+\cdots +n_s=n$)。
  2. 计算特征向量并判断线性无关性：对于每个特征值${\lambda }_i$，求解齐次线性方程组$({\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，得到其基础解系，基础解系中的向量就是属于${\lambda }_i$的线性无关的特征向量，设其个数为$m_i$,$m_i$也被称为特征值${\lambda }_i$的几何重数， 即属于${\lambda }_i$的线性无关特征向量的个数）。若对于每一个特征值${\lambda }_i$，都有其代数重数$n_i$等于几何重数$m_i$，即$n_i=m_i$，$i=1,2,\cdots ,s$，则矩阵$\mathbf{A}$有n个线性无关的特征向量，$\mathbf{A}$可以相似对角化；若存在某个特征值，其代数重数不等于几何重数，则$\mathbf{A}$不能相似对角化。

方法二：判断矩阵是否为实对称矩阵（适用于实矩阵）

• 判断条件：实对称矩阵一定可以相似对角化，并且可以正交相似对角化（即存在正交矩阵$\mathbf{Q}$，使得${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}^T\mathbf{A}\mathbf{Q}$为对角矩阵）。
• 具体步骤：只需判断矩阵$\mathbf{A}$是否满足${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$，若满足，则$\mathbf{A}$可相似对角化。

十七、若A可以相似对角化，求P(Q)

若矩阵 $\mathbf{A}$ 可相似对角化，求可逆矩阵 $\mathbf{P}$（或正交矩阵 $\mathbf{Q}$）的步骤

一、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$（$\mathbf{\Lambda }$ 为对角矩阵）

1. 求特征值 解特征方程 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=0$，得所有特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$（含重数）。
2. 求特征向量 对每个特征值 ${\lambda }_i$，解齐次方程组 $({\lambda }_i\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，得基础解系 ${\mathbf{\xi }}_{i1},{\mathbf{\xi }}_{i2},\dots ,{\mathbf{\xi }}_{i{k}_i}$（$k_i$ 为几何重数，且 $\sum k_i=n$）。
3. 构造矩阵 $\mathbf{P}$ 与对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$

• 将所有线性无关的特征向量按列排列，组成可逆矩阵： $$\mathbf{P}=({\mathbf{\xi }}_{11},{\mathbf{\xi }}_{12},\dots ,{\mathbf{\xi }}_{1k_1},{\mathbf{\xi }}_{21},\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n{k}_n})$$

• 对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$ 的对角线元素为对应特征值，顺序与 $\mathbf{P}$ 的列向量一致： $$\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

二、求正交矩阵 $\mathbf{Q}$ 使 ${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{\Lambda }$（适用于实对称矩阵）

1. 完成“求可逆矩阵 $\mathbf{P}$”的步骤1-2 得特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 和对应特征向量 ${\mathbf{\xi }}_{i1},\dots ,{\mathbf{\xi }}_{i{k}_i}$。
2. 正交化 对同一特征值 ${\lambda }_i$ 的线性无关特征向量 ${\mathbf{\xi }}_{i1},\dots ,{\mathbf{\xi }}_{i{k}_i}$，用施密特正交化法化为正交向量组： $${\mathbf{\beta }}_{i1}={\mathbf{\xi }}_{i1},{\mathbf{\beta }}_{ij}={\mathbf{\xi }}_{ij}-\sum _{m=1}^{j-1}\frac{({\mathbf{\xi }}_{ij},{\mathbf{\beta }}_{im})}{({\mathbf{\beta }}_{im},{\mathbf{\beta }}_{im})}{\mathbf{\beta }}_{im}(j=2,\dots ,k_i)$$
3. 单位化 将正交向量组 ${\mathbf{\beta }}_{i1},\dots ,{\mathbf{\beta }}_{i{k}_i}$ 单位化： $${\mathbf{\gamma }}_{ij}=\frac{{\mathbf{\beta }}_{ij}}{\Vert {\mathbf{\beta }}_{ij}\Vert }(\Vert \mathbf{\beta }\Vert =\sqrt{(\mathbf{\beta },\mathbf{\beta })}\text{ 为向量模长})$$
4. 构造正交矩阵 $\mathbf{Q}$ 将所有单位正交特征向量按列排列，组成正交矩阵： $$\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_{11},\dots ,{\mathbf{\gamma }}_{1k_1},{\mathbf{\gamma }}_{21},\dots ,{\mathbf{\gamma }}_{n{k}_n})$$

【例】

求实对称矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$ 的正交矩阵 $\mathbf{Q}$

1. 特征值：${\lambda }_1=5$，${\lambda }_2={\lambda }_3=-1$（代数重数均等于几何重数）。

2. 特征向量：

   • ${\lambda }_1=5$ 对应 ${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

   • ${\lambda }_2=-1$ 对应 ${\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\xi }}_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

3. 正交化：

   • ${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$
   • ${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
   • ${\mathbf{\beta }}_3={\mathbf{\xi }}_3-\frac{({\mathbf{\xi }}_3,{\mathbf{\beta }}_2)}{({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)}{\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}-1/2\\ -1/2\\ 1\end{array}\right)$

4. 单位化： $${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$$

5. 正交矩阵： $$\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& 0& 2/\sqrt{6}\end{array}\right)$$ 满足 ${\mathbf{Q}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$。

• $\mathbf{P}$ 是可逆矩阵，由线性无关特征向量组成，适用于所有可对角化矩阵；
• $\mathbf{Q}$ 是正交矩阵（${\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{Q}}^{\text{T}}$），由单位正交特征向量组成，仅适用于实对称矩阵（必可对角化且可正交对角化）。

十八、二次型化标准型

1、拉格朗日配方法

通过代数配方将二次型 $f={\mathbf{x}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 转化为只含平方项的标准形 $f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2$，对应可逆线性变换 $\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$（$\mathbf{C}$ 为可逆矩阵）

1. 含平方项的变量优先配方：

若二次型含某个变量（如 $x_1$）的平方项，将所有含 $x_1$ 的项集中，配成完全平方形式，剩余项中重复此操作。

2. 不含平方项时构造平方项：

   若二次型仅含交叉项（如 $x_1{x}_2$），令 $x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_i=y_i(i\ge 3)$，引入平方项后再配方。

3. 写出标准形和变换矩阵：

   配方后得到标准形，根据变量替换关系写出可逆矩阵 $\mathbf{C}$，满足 $f={\mathbf{y}}^{\text{T}}({\mathbf{C}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{C})\mathbf{y}$ 为标准形。

示例：

化二次型 $f=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2+4x_2{x}_3+4x_3^2$ 为标准形。

• 配方过程：
  $$\begin{array}{rl}f& =(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2)+(x_2^2+4x_2{x}_3+4x_3^2)\\ & =(x_1+x_2{)}^2+(x_2+2x_3{)}^2\end{array}$$

• 变量替换：
  令 $y_1=x_1+x_2$，$y_2=x_2+2x_3$，$y_3=x_3$，则 $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\mathbf{y}$。

• 标准形：$f=y_1^2+y_2^2$，变换矩阵 $\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$（可逆）。

2、正交化法

通过正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$（$\mathbf{Q}$ 为正交矩阵）将二次型化为标准形，标准形的系数为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值，即 $f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$。

1. 写出二次型矩阵 $\mathbf{A}$：

二次型 $f={\mathbf{x}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 中，$\mathbf{A}$ 为实对称矩阵（$a_{ii}$ 是 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 是 $x_i{x}_j$ 系数的一半）。

2. 求 $\mathbf{A}$ 的特征值和特征向量：
   解特征方程 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=0$ 得特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$，对应特征向量 ${\mathbf{\xi }}_1,\dots ,{\mathbf{\xi }}_n$。

3. 特征向量正交化与单位化：

   对同一特征值的线性无关特征向量用施密特正交化，再将所有特征向量单位化，得单位正交向量组 ${\mathbf{\gamma }}_1,\dots ,{\mathbf{\gamma }}_n$。

4. 构造正交矩阵 $\mathbf{Q}$ 和标准形：

   $\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_1,\dots ,{\mathbf{\gamma }}_n)$，则正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$ 化二次型为标准形：
   $$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$

示例：

用正交化法化 $f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 为标准形。

• 二次型矩阵：$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$。

• 特征值：${\lambda }_1=4$，${\lambda }_2={\lambda }_3=1$。

• 单位正交特征向量：

${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^{\text{T}}$，${\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0{)}^{\text{T}}$，${\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,-1,2{)}^{\text{T}}$。

• 标准形：$f=4y_1^2+y_2^2+y_3^2$，正交矩阵 $\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3)$。

十九、二次型正定

若n元二次型$f=x^{T}Ax$正定 <=> 对任意x≠0，有$f=x^{T}Ax$＞0

<=> f的正惯性指数p = n

<=> 存在可逆矩阵D，使 A = D${}^T$D

<=>A合同与E

<=>A的特征值${\lambda }_i>0(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ，n)$

<=>A的全部顺序主子式均大于0

二十、等价、相似、合同

关系	等价（矩阵$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$等价）	相似（矩阵$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$相似）	合同（矩阵$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$合同）
定义	存在可逆矩阵$\mathbf{P},\mathbf{Q}$，使$\mathbf{B}=\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}$	存在可逆矩阵$\mathbf{P}$，使$\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$	存在可逆矩阵$\mathbf{C}$，使$\mathbf{B}={\mathbf{C}}^{\text{T}}\mathbf{A}\mathbf{C}$
核心本质	矩阵经初等变换可互化（体现秩的一致性）	线性变换在不同基下的矩阵表示（保持特征值等核心属性）	二次型经可逆线性变换的等价性（保持正定性等惯性性质）
充要条件	同型且秩相等：$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$	① 特征值完全相同（含重数）； ② 存在可逆矩阵$\mathbf{P},\mathbf{Q}$使$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{B}\mathbf{Q}$且${\mathbf{P}}^{-1}=\mathbf{Q}$（特殊等价）	① 均为实对称矩阵且惯性指数相同（正、负惯性指数分别相等）； ② 存在可逆矩阵$\mathbf{P},\mathbf{Q}$使$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{B}\mathbf{Q}$且${\mathbf{P}}^{\text{T}}=\mathbf{Q}$（特殊等价）
包含关系	等价是最宽泛的关系： 相似$\subset$等价，合同$\subset$等价（实对称矩阵中相似$\subset$合同）	相似矩阵必等价，但等价矩阵不一定相似； 实对称矩阵相似必合同，但合同不一定相似	合同矩阵必等价，但等价矩阵不一定合同； 实对称矩阵合同$\nRightarrow$相似（特征值可不同）
不变量	矩阵的秩$r(\mathbf{A})$	特征值、行列式、迹、秩、可逆性	惯性指数（正惯性指数$p$、负惯性指数$q$）、秩、对称性（若原矩阵对称）
适用场景	矩阵秩的比较、方程组同解性等	特征值与特征向量、矩阵对角化、线性变换等	二次型化简、正定性判定、曲面分类等
示例	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$与$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$等价（秩均为1）	$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$与$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$相似（特征值均为1）	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$与$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right)$合同（惯性指数均为$p=1,q=1$）