【动态规划算法】路径问题

什么是动态规划算法

动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种通过分解复杂问题为重叠子问题，并存储子问题的解以避免重复计算，从而高效求解具有特定性质（重叠子问题、最优子结构）问题的算法思想。

一、核心思想：“分解 + 复用”

动态规划的核心在于：
1.将原问题拆解为规模更小的子问题；
2.求解子问题后，将结果存储起来（记忆化），避免后续重复计算；
3.基于子问题的解，推导出原问题的解。
简单来说，就是 “用已知的子问题答案，解决未知的大问题”，本质是用空间换时间。

二、动态规划的 2 个关键前提

只有当问题满足以下两个条件时，才能用动态规划求解：

  1. 重叠子问题
    问题可以分解为多个重复出现的子问题。
    例如：计算斐波那契数列 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 时，f(5) 依赖 f(4) 和 f(3)，f(4) 又依赖 f(3) 和 f(2)——f(3) 就是被重复计算的重叠子问题。
  2. 最优子结构（Optimal Substructure）
    问题的最优解包含子问题的最优解。
    例如：求 “从 A 到 B 的最短路径” 时，若路径 A→C→B 是最优解，则 A→C 和 C→B 一定分别是 A 到 C、C 到 B 的最短路径（子问题的最优解）。

三、动态规划的 2 种实现方式

动态规划通常有两种实现思路，核心都是 “存储子问题的解”，只是顺序不同：

  1. 自顶向下（Top-Down）：递归 + 记忆化
    思路：从原问题出发，递归分解为子问题，用备忘录（数组或哈希表） 存储已求解的子问题答案，避免重复计算。
  2. 自底向上（Bottom-Up）：迭代 + DP 表
    思路：从最小的子问题开始，按顺序求解，用DP 表（数组） 记录子问题的解，逐步推导出原问题的解。

四、经典应用场景

动态规划广泛用于求解 “最优问题” 或 “计数问题”，典型案例包括：
计数问题：爬楼梯（方法数）、不同路径（网格中路径数）；
最优问题：最长公共子序列（LCS）、最大子数组和、0-1 背包问题（最大价值）；
其他：编辑距离（字符串相似度）、打家劫舍（不相邻房屋最大金额）等。

五、动态规划与其他算法的区别

与递归：递归可能重复计算子问题，动态规划通过记忆化避免重复，效率更高；
与贪心算法：贪心只做局部最优选择，不依赖子问题的解；动态规划则基于子问题的最优解推导全局最优；
与分治法：分治法（如归并排序）的子问题不重叠，无需存储解；动态规划的子问题重叠，必须存储解。

一. (62.)不同路径(力扣)

在这里插入图片描述

1.1算法原理

  1. 状态表⽰：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
i. 从 [i, j] 位置出发，巴拉巴拉；
ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，巴拉巴拉。
这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：
dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。

  1. 状态转移⽅程：

从最近的一步将问题划分为子问题，再由若干个子问题来来解决总问题。dp[i][j] 表⽰到达 [i, j] 位置的⽅法数，到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：
i. 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
ii. 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。
由于我们要求的是有多少种⽅法，因此状态转移⽅程就呼之欲出了： dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 。

为什么方法数不将这一小步也加上？
因为这一小步不是方法数，而是一种方法中延申的一步，是路长步数，不影响方法数

3.初始化

通过添加虚拟节点来避免复杂边界问题讨论，需注意：
1.虚拟节点的值要保证后续填表是正确的
2.下标映射关系
在这里插入图片描述
在左上角第一个位置的上边或左边初始化为1，其他地方初始化为0，就不会影响后续填表

  1. 填表顺序：

根据状态转移⽅程的推导来看，填表的顺序就是从上往下填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候从左往右。

  1. 返回值：

根据状态表⽰，由于多增加了一行一列的虚拟节点，我们要返回 dp[m][n] 的值(原本返回坐标为m-1，n-1)。

class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));//初始化dp表的虚拟节点一行一列，将[0][1]或[1][0]位置赋1即可其他默认为0dp[1][0]=1;//填表for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}}return dp[m][n];}
};

二. (63.) 不同路径 II(力扣)

在这里插入图片描述

2.1算法原理

  1. 状态表示：

dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。

  1. 状态转移：

到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：
i. 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
ii. 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。
但是， [i - 1, j] 与 [i, j - 1] 位置都是可能有障碍的，此时从上⾯或者左边是不可能到达 [i, j] 位置的，也就是说，此时的⽅法数应该是 0。若dp[i][j]位置本身就有障碍物方法数直接为0
由此我们可以得出⼀个结论，只要这个位置上有障碍物，那么我们就不需要计算这个位置上的值，直接让它等于 0 即可。

3.初始化

通过添加虚拟节点来避免复杂边界问题讨论，需注意：
1.虚拟节点的值要保证后续填表是正确的
2.下标映射关系
在这里插入图片描述
在左上角第一个位置的上边或左边初始化为1，其他地方初始化为0，就不会影响后续填表

  1. 填表顺序：

根据状态转移⽅程的推导来看，填表的顺序就是从上往下填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候从左往右。

  1. 返回值：

根据状态表⽰，由于多增加了一行一列的虚拟节点，我们要返回 dp[m][n] 的值(原本返回坐标为m-1，n-1)。

class Solution {
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {int n=obstacleGrid.size(),m=obstacleGrid[0].size();vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(m+1));//初始化dp[0][1]=1;//填表for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(obstacleGrid[i-1][j-1]!=1)dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}}return dp[n][m];}
};

三. 剑指 Offer 47. 礼物的最大价值(力扣)

在这里插入图片描述

3.1算法原理

1.状态表示：

dp[i][j] 表⽰：⾛到 [i, j] 位置处，此时的最⼤价值。

  1. 状态转移⽅程：

对于 dp[i][j] ，想要到达 [i, j] 位置，有两种⽅式：
i. 从 [i, j] 位置的上⽅ [i - 1, j] 位置，向下⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能
拿到的礼物价值为 dp[i - 1][j] + grid[i][j] ；
ii. 从 [i, j] 位置的左边 [i, j - 1] 位置，向右⾛⼀步，此时到达 [i, j] 位置能
拿到的礼物价值为 dp[i][j - 1] + grid[i][j]
我们要的是最⼤值，因此状态转移⽅程为：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

3.初始化

1.依旧是添加一行一列的虚拟节点，需注意的是与前两道题不同的是前两题求的是路径，本题求的是每个节点的“价值”，所以不能让虚拟节点影响到原本节点的价值，由状态转移方程可知，求一个节点的最大价值，总共有两种路径取大的一方，题目要求所有值都>=0，所以将所有虚拟节点初始化为0就没有影响
2.保证后续填表正确，注意dp表与原数组下标的映射关系

  1. 填表顺序：
    从上往下填写每⼀⾏，每⼀⾏从左往右。

5.返回值

由于多添加了一行一列的虚拟节点，返回 dp[m][n] 的值

class Solution {
public:int jewelleryValue(vector<vector<int>>& f) {int m=f.size(),n=f[0].size();vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));//填表，初始化虚拟节点为0自动完成for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+f[i-1][j-1];}}return dp[m][n];}
};

四. (931.) 下降路径最小和(力扣)

在这里插入图片描述

4.1算法原理

  1. 状态表⽰

dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最⼩和。

  1. 状态转移⽅程：

对于普遍位置 [i, j] ，根据题意得，到达 [i, j] 位置可能有三种情况：
i. 从正上⽅ [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置；
ii. 从左上⽅ [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置；
iii. 从右上⽅ [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置；
我们要的是三种情况下的「最⼩值」，然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值。
于是 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i][j]

3.初始化

与前几道题增加一行一列的初始化不同，本题要增加两列一行，因为当前位置值受上一行左中右三个值的影响，所以原数组中最右边一列的值也面临初始化的问题，所以也需要增加虚拟节点
在这里插入图片描述
1.因为所求为下降路径的最小和，所以除第一行外的其他虚拟节点需要初始化为正无穷大，同时原数组第一行没有之前的下降路径，所以不能受虚拟节点的影响，第一行虚拟节点要设为0。
2.可以采取先将全部虚拟节点初始化为正无穷大然后将第一行改为0

  1. 填表顺序：

从上往下

  1. 返回值：

注意这⾥不是返回 dp[m][n] 的值！
题⽬要求只要到达最后⼀⾏就⾏了，因此这⾥应该返回 dp 表中最后⼀⾏的最⼩值

class Solution {
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& m) {int x=m.size(),y=m[0].size();vector<vector<int>> dp(x+1,vector<int>(y+2,INT_MAX));//初始化for(int j=0;j<=y+1;j++){dp[0][j]=0;}//填表for(int i=1;i<=x;i++){for(int j=1;j<=y;j++){dp[i][j]=min({dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]})+m[i-1][j-1];}}//找到最小返回值int ret=INT_MAX;for(int i=x,j=1;j<=y;j++){if(dp[i][j]<ret) ret=dp[i][j];}return ret;}
};

五. (64.) 最小路径和(力扣)

在这里插入图片描述

5.1算法原理

  1. 状态表⽰：

dp[i][j] 表⽰：到达 [i, j] 位置处，最⼩路径和是多少。

  1. 状态转移:

表⽰到达 到达 [i, j] 位置处的最⼩路径和，那么到达[i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：
i. 从 [i - 1, j] 向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
ii. 从 [i, j - 1] 向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。
由于到 [i, j] 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 [i, j] 位置上本⾝的值即可。
也就是： dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

  1. 初始化：

在这里插入图片描述

添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让
dp[0][1] = dp[1][0] = 1 即可。(因为求的是最小值，不能让虚拟节点干扰）

  1. 填表顺序：从上往下填每⼀⾏，每⼀⾏从左往后
  2. 由于多加了一行一列的虚拟节点，返回dp[m][n]
class Solution {
public:int minPathSum(vector<vector<int>>& g) {int m=g.size(),n=g[0].size();//创建dp表顺便初始化vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));//特殊初始化值dp[1][0]=dp[0][1]=0;//填表for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+g[i-1][j-1];}}return dp[m][n];}
};

六. (174.) 地下城游戏(力扣)

在这里插入图片描述

6.1算法原理

  1. 状态表⽰：

这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。
这个时候我们要换⼀种状态表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。
综上所述，定义状态表⽰为：
dp[i][j] 表⽰：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数

  1. 状态转移⽅程：

在这里插入图片描述
在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于右边或下边位置的最低健康点数。(图中d代表dungeon)
dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]
注意：
如果当前位置dungeon[i][j] 是⼀个⽐较⼤的正数的话， dp[i][j] 的值可能变
成 0 或者负数。也就是最低点数会⼩于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果⼩于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取⼀个最⼤值即可：dp[i][j] = max(1, dp[i][j])

  1. 初始化：

由于节点状态表示与前面题不同，初始化方式也改变，每个节点依赖后一个下位置和右位置节点的值，在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤(因为求最小值不能被虚拟节点影响)，然后让dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 (终点房间所依赖的下一个位置，最小值为1根据题目要求，不然没法进行下去和其他虚拟节点不同)。

4.填表顺序：

发生变化，要从下往上填每⼀⾏，每⼀⾏从右往左

  1. 返回值：

根据状态表⽰，需要返回 dp[0][0] 的值

class Solution {
public:int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& d) {int m=d.size(),n=d[0].size();vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));//特殊初始化dp[m][n-1]=dp[m-1][n]=1;//填表for(int i=m-1;i>=0;i--)//注意下标映射关系没有变{for(int j=n-1;j>=0;j--){dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-d[i][j];dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);//防止为负数}}return dp[0][0];}
};

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