PID算法

普通PID（Proportional-Integral-Derivative）

通过比例（P）、积分（I）和微分（D）三项来进行控制

• 比例项（P）：根据当前误差（目标值与实际值之差）进行控制。误差越大，控制量也越大，但容易导致稳态误差。

  $P=K_p\cdot e(t)$

• 积分项（I）：累积误差，可以消除稳态误差，特别是在误差长时间存在时，但可能会导致系统超调和震荡。

  $I=K_i\cdot \int e(t)dt$

• 微分项（D）：根据误差的变化率进行控制，用来预测误差的变化，从而减小超调和改善系统响应速度。

  $D=K_d\cdot \frac{d}{dt}e(t)$

PID的实现分为两种：

• 标准型PID：$D=K(e(t)+\frac{1}{{\tau }_i}\int e(t)+\frac{1}{{\tau }_d}\frac{de(t)}{dt})$
  • ${\tau }_i$称为积分时间，物理含义为积分项需要多长时间才能追上比例项，${\tau }_d$称为微分时间，物理含义为比例项需要多久才能追上微分项。
• 并联型PID：$D=K_{p}e(t)+K_i\int e(t)+K_d\frac{de(t)}{dt}$

标准型PID的好处在于确定了积分时间${\tau }_i$和微分时间${\tau }_d$之后，系统就只剩一个增益参数需要调节了。
将其进行拉普拉斯变换得到频域格式：$C=K_p\left(1+\frac{1}{T_{i}s}+T_{d}s\right)$

• 在matlab中提供了标准型PID的函数pidstd，但是文档中可以看到其频域公式格式为：$C=K_p\left(1+\frac{1}{T_{i}s}+\frac{T_{d}s}{\frac{T_d}{N}s+1}\right)$，这其中的N为滤波器除数。
• 因为实际使用中，信号多来自于传感器，具有一些高频噪声，普通的微分环节从频率响应的角度来看，其幅频特性$|G(j\omega )|=K_d\omega$，会放大高频信号，导致系统不稳定。
• 通过在微分环节中添加一个低通滤波器$G(s)=\frac{1}{\frac{1}{{\omega }_c}s+1}$，然后整体的传递函数变为$G(s)=\frac{K_{d}s}{\frac{1}{{\omega }_c}s+1}$，其幅频特性为$|G(j\omega )|=|\frac{K_d(j\omega )}{\frac{1}{{\omega }_c}(j\omega )+1}|=\frac{|K_d(j\omega )|}{|\frac{1}{{\omega }_c}(j\omega )+1|}=\frac{K_d\cdot \omega }{\sqrt{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^2}}$,当$\omega$较小时，跟普通微分环节没什么区别，当$\omega$较大时，幅频特性趋近于常数$K_d$，避免了高频信号的干扰。

其中，$u(t)$ 是控制信号，$K_p$, $K_i$, $K_d$ 是PID常数，$e(t)$ 是误差。
适用于简单控制，Simulink中也有封装好的PID模块，用单环PID控制一个直流有刷电机仿真如下：

可以尝试一下在电机转速actual_velocity中添加一些低幅值的高频噪声，会发现对于系统的稳定影响非常大。

采用单环PID控制，使用PWM进行斩波调制，将母线电压控制到想要的电压大小，实现的效果如下：

用python实现一个PID用于控制摆锤（约等于电机控制问题）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
import gymnasium as gym# 解决中文显示问题
def setup_font():plt.rcParams["font.family"] = ["SimHei", "WenQuanYi Micro Hei", "Heiti TC", "Arial Unicode MS"]plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falsesetup_font()class PIDController:"""连续输出的PID控制器"""def __init__(self, kp, ki, kd, setpoint=0):self.kp = kp  # 比例增益self.ki = ki  # 积分增益self.kd = kd  # 微分增益self.setpoint = setpoint  # 目标摆角（弧度）self.prev_error = 0.0  # 上一时刻误差self.integral = 0.0    # 误差积分self.dt = 0.05         # 时间步长（与Pendulum环境一致）def compute(self, process_value):"""计算连续控制输出（力矩）"""# 计算当前误差（摆角偏差）error = self.setpoint - process_value# 积分项（限制积分饱和）self.integral += error * self.dt# 微分项（抑制噪声）derivative = (error - self.prev_error) / self.dtself.prev_error = error# 计算PID输出（连续力矩）output = self.kp * error + self.ki * self.integral + self.kd * derivative# 限制输出在环境允许的力矩范围内return np.clip(output, -2, 2)def run_simulation(kp=10.0, ki=1.0, kd=2.0, render=True):"""在Pendulum-v1环境中运行PID控制"""# 创建连续动作空间的倒立摆环境env = gym.make('Pendulum-v1', render_mode='human' if render else None, g=3)# 初始化PID控制器（目标：摆角为0，即垂直向上）pid = PIDController(kp, ki, kd)# 存储数据states = []actions = []rewards = []# 重置环境（初始摆角）observation, info = env.reset(options={"theta": -3.14}) done = False# 仿真主循环while not done:# 观测值解析：[cos(theta), sin(theta), theta_dot]# 计算实际摆角（弧度）cos_theta, sin_theta, theta_dot = observationtheta = np.arctan2(sin_theta, cos_theta)  # 转换为[-π, π]的摆角# PID计算连续力矩（动作）torque = pid.compute(theta)action = np.array([torque])  # 环境要求动作是数组形式# 执行动作next_observation, reward, terminated, truncated, info = env.step(action)done = terminated or truncated# 存储数据states.append([theta, theta_dot])  # 保存摆角和角速度actions.append(torque)rewards.append(reward)observation = next_observationenv.close()# 转换为数组states = np.array(states)actions = np.array(actions)rewards = np.array(rewards)return states, actions, rewardsdef plot_results(states, actions, rewards):"""绘制控制结果"""time_steps = len(states)dt = 0.05  # 时间步长time = np.arange(time_steps) * dtfig, axs = plt.subplots(3, 1, figsize=(10, 12))# 摆角（转换为度）axs[0].plot(time, np.rad2deg(states[:, 0]), label='实际摆角')axs[0].axhline(y=0, color='r', linestyle='--', label='目标摆角')axs[0].set_title('摆角变化（度）')axs[0].set_ylabel('角度')axs[0].grid(True)axs[0].legend()# 摆角速度（转换为度/秒）axs[1].plot(time, np.rad2deg(states[:, 1]), label='摆角速度')axs[1].set_title('摆角速度变化（度/秒）')axs[1].set_ylabel('角速度')axs[1].grid(True)axs[1].legend()# 控制力矩axs[2].plot(time, actions, label='输出力矩')axs[2].set_title('PID输出力矩变化')axs[2].set_xlabel('时间（秒）')axs[2].set_ylabel('力矩')axs[2].grid(True)axs[2].legend()plt.tight_layout()plt.show()if __name__ == "__main__":# 调优后的PID参数（连续动作空间下）kp = 14.0   # 比例增益：主导纠正摆角偏差ki = 0.9    # 积分增益：消除稳态误差kd = 3.0    # 微分增益：抑制震荡# 运行仿真states, actions, rewards = run_simulation(kp=kp, ki=ki, kd=kd, render=True)print(f"仿真持续时间: {len(states)*0.05:.2f}秒")print(f"最终摆角: {np.rad2deg(states[-1, 0]):.2f}度")# 绘制结果plot_results(states, actions, rewards)

仿真结果如下：

仿真系统可以设置重力常数g，进而影响力矩，当g较大时，这个单环PID控制器就失效了，因为PID是误差驱动，在最低端时角度会从-180跳变到180，即在最低点左边PID会驱动摆锤向左转，反之亦然。这就导致PID无法做到像运动员助跑一样，在最低点左边向右加速助力从右边转上去，直观的体现就是PID一直在左右摇摆就是上不去。
还有之前使用强化学习方法做的样例，可以参考：
强化学习DDPG算法Demo实现

级联PID（Cascade PID）

级联PID控制算法是对普通PID的扩展，通常用于多变量控制系统。它的核心思想是将一个主控制器和一个或多个子控制器结合起来，使得系统能更好地处理复杂的动态行为。

在级联PID中，主控制器负责控制整个系统的大范围误差，而子控制器则负责细化处理主控制器的控制输出。这种结构适用于需要分层控制的场景，例如温度控制、压力控制等。

• 主回路：根据主回路的误差计算出一个控制量，通常是设定值和实际值之间的差。
• 子回路：主回路的控制输出作为子回路的设定值。子回路的作用是进一步精细调整，控制精度通常较高。

这种方法的优点是可以减少滞后效应，快速响应动态变化，提高系统的稳定性。
在电机控制中，可以使用级联PID进行控制：

使用速度环和电流环的电机控制如下：

得到的效果如下：

参数整定

PID控制器是自动控制系统中非常常见的一种反馈控制器。它通过比例（P）、积分（I）和微分（D）三个参数来调节系统的输出，以达到设定值。PID参数整定的目的是确定这三个参数的最佳值，以使控制系统在性能上达到最佳。

经验调试

经验整定法是最简单的一种方法，通常用于经验丰富的工程师通过反复调整PID控制器的参数（Kp、Ki、Kd）来达到满意的控制效果。

• 过程：
  • 先设置Ki和Kd为零。
  • 调整Kp，直到系统出现小的稳态误差，并使系统不产生大的超调量。
  • 调整Ki以消除稳态误差。
  • 最后，调整Kd以减少系统的振荡或过冲。
• 优缺点：
  • 优点：简单直观，适用于对系统了解较多的场合。
  • 缺点：操作繁琐，且需要根据经验来调整参数，可能导致不稳定或效率不高。

PID调参口诀：
参数整定找最佳，从小到大顺序查；
先是比例后积分，最后再把微分加；
曲线振荡很频繁，比例度盘要放大；
曲线漂浮绕大弯，比例度盘往小扳；
曲线偏离回复慢，积分时间往下降；
曲线波动周期长，积分时间再加长；
理想曲线两个波，前高后低4比1；
一看二调多分析，调节质量不会低。

PID参数的整定方法主要包括： 基于响应法、模型解析法、 设计图谱法、目标优化法等。其中，基于响应法包括经典的Ziegler-Nichols整定法和继电器反馈法，通过实测系统的时域响应曲线，辨识系统的临界特征参数，进而调节PID参数。常见的PID参数整定方法有以下几种：

Ziegler-Nichols方法

Ziegler-Nichols法是基于响应的经典整定方法，适用于大多数控制系统。它通过设置不同的控制器参数，观察系统响应，进而获得PID参数。

• 步骤：

  1. 设置Ki和Kd为零，仅调整Kp（比例增益），直到系统发生持续振荡（临界振荡）。

  2. 记录此时的Kp值（临界增益Kc）和振荡周期Pc。

  3. 根据Ziegler-Nichols表格，通过Kc和Pc计算出PID参数：

     • P控制：Kp = 0.5 * Kc
     • PI控制：Kp = 0.45 * Kc, Ki = 1.2 * Kp / Pc
     • PID控制：Kp = 0.6 * Kc, Ki = 2 * Kp / Pc, Kd = Kp * Pc / 8

• 优缺点：

  • 优点：简单有效，能够快速获得较为合理的控制参数。
  • 缺点：对系统的初始调节有较高要求，且可能存在一定的超调和震荡。

优化算法法

这种方法通过优化算法来自动搜索PID控制器的最佳参数。常用的优化算法包括：

• 遗传算法：通过模拟自然选择的过程，逐步寻找最佳PID参数。
• 粒子群优化算法（PSO）：通过模拟粒子在搜索空间中的运动来寻求最优解。
• 最小二乘法：通过最小化误差平方和来优化PID参数。

优缺点：

• 优点：适用于复杂的控制系统，能够自动找到最佳的PID参数。
• 缺点：计算量大，且依赖于算法的选择和参数设置。

频域分析法

在频域中，通过对系统的传递函数进行分析，可以在系统频率响应上调节PID参数。频域整定法通常依赖于系统的开环增益和相位特性。

• 步骤：
  • 通过频率响应法（例如伯德图）分析系统的幅频特性。
  • 根据系统的相位裕度和增益裕度来确定PID的参数。
• 优缺点：
  • 优点：对于大部分线性系统适用，能够精确调节系统的动态性能。
  • 缺点：需要较强的系统建模和频域分析能力。

总结

PID参数整定的选择应依据具体系统的特点、对性能的要求以及对控制过程的理解来决定。一般情况下，Ziegler-Nichols方法是最常用的整定方法，但对于更为复杂或精密的系统，可能需要采用优化算法或其他方法来精细调整。