在动态规划中，填表时固定最后一个数还是倒数第二个数，取决于问题的定义和状态转移方程的设计。

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目录

1. 固定最后一个数

适用场景

特点

示例

2. 固定倒数第二个数

适用场景

特点

示例

3. 固定最后一个数与倒数第二个数的对比

4. 总结

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1. 固定最后一个数

适用场景

• 当问题的解与以某个位置为结尾的子问题相关时，通常固定最后一个数。

• 例如：最大子数组和、最长递增子序列（LIS）等问题。

特点

• 状态定义通常为 dp[i]，表示以第 i 个元素为结尾的最优解。

• 状态转移方程通常依赖于前一个状态（dp[i-1]）或前面所有状态。

示例

• 最大子数组和
  状态定义：dp[i] 表示以 nums[i] 为结尾的最大子数组和。
  状态转移：dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])
  代码：

  int maxSubArray(vector<int>& nums) {int dp = nums[0], res = dp;for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {dp = max(nums[i], dp + nums[i]);res = max(res, dp);}return res;
  }

• 最长递增子序列（LIS）
  状态定义：dp[i] 表示以 nums[i] 为结尾的最长递增子序列长度。
  状态转移：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)，其中 j < i 且 nums[j] < nums[i]
  代码：

  int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {vector<int> dp(nums.size(), 1);int res = 1;for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}res = max(res, dp[i]);}return res;
  }

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2. 固定倒数第二个数

适用场景

• 当问题的解与子问题的中间状态相关时，通常固定倒数第二个数。

• 例如：最长公共子序列（LCS）、编辑距离等问题。

特点

• 状态定义通常为 dp[i][j]，表示前 i 个元素和前 j 个元素之间的某种关系。

• 状态转移方程通常依赖于 dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j] 或 dp[i][j-1]。

示例

• 最长公共子序列（LCS）
  状态定义：dp[i][j] 表示字符串 A 的前 i 个字符和字符串 B 的前 j 个字符的最长公共子序列长度。
  状态转移：

  if (A[i-1] == B[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
  } else {dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
  }

  代码：

  int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {int m = text1.size(), n = text2.size();vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (text1[i-1] == text2[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;} else {dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);}}}return dp[m][n];
  }

• 编辑距离
  状态定义：dp[i][j] 表示将字符串 A 的前 i 个字符转换为字符串 B 的前 j 个字符所需的最小操作次数。
  状态转移：

  if (A[i-1] == B[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
  } else {dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]}) + 1;
  }

  代码：

  int minDistance(string word1, string word2) {int m = word1.size(), n = word2.size();vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;for (int j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = j;for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (word1[i-1] == word2[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1];} else {dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]}) + 1;}}}return dp[m][n];
  }

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3. 固定最后一个数与倒数第二个数的对比

特性	固定最后一个数	固定倒数第二个数
适用问题	子数组、子序列问题	双序列、矩阵类问题
状态定义	dp[i] 或 dp[i][j]	dp[i][j]
状态转移	依赖前一个状态或前面所有状态	依赖 dp[i-1][j-1] 等中间状态
典型问题	最大子数组和、LIS	LCS、编辑距离

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4. 总结

• 固定最后一个数：适用于子数组或子序列问题，状态转移通常依赖于前一个状态或前面所有状态。

• 固定倒数第二个数：适用于双序列或矩阵类问题，状态转移通常依赖于中间状态（如 dp[i-1][j-1]）。