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前言

在上一篇文章中，深入介绍了QMF滤波器组的原理，并且基于原理也同样给出了实现方式，它可以用于频带分割和完美重构。而本篇文章将会介绍一种高效多相抽取器的设计，它可以大大减少下采样、上采样、滤波器组等中的计算量，同样可以改进QMF滤波器组的设计。

本篇文章将先介绍Polyphase 多项分解和Noble恒等式的定义和原理，其中得到Polyphase 分解 + Noble 恒等式 = 高效多相抽取器设计。并以QMF滤波器为例，最终实现更为高效的频带分割。

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一、Polyphase 多项分解

1.定义

Polyphase 多项分解（Polyphase Decomposition）是数字信号处理中一种对滤波器进行重构或分解的方法，广泛应用于下采样、上采样、滤波器组（filter bank）等。

简单来说，它可以将一个FIR滤波器的冲激响应（或系统函数）按照某种方式拆分为若干子滤波器（称为 polyphase 分量），以便于在多速率处理（如抽取/内插）中实现更高效的计算。

2.拆分公式

对于长度为$N$的FIR滤波器，它的Z变换为：
$$H(z)=\sum _{n=0}^{N-1}h[n]z^{-n}$$
将其分解为$M$个polyphase分量为：
$$H(z)=\sum _{k=0}^{M-1}{z}^{-k}{E}_k(z^M)$$
其中

• $E_k(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }h[nM+k]z^{-n}$
• $E_k(z^M)$：是第$k$个多项式，取$M$个系数中的第$k$个

例如我们将一个FIR滤波器分解为M个polyphose分量，那么系统的结构应该是：

   x[n]↓
+---多相分解---+
|              |
|    x_0[n] --> E_0(z^M) --+  
|    x_1[n] --> E_1(z^M) --+--> 叠加后输出 y[n]
|    ...                   |
|    x_{M-1}[n] --> E_{M-1}(z^M) --+

3.推导过程

1）按模$M$拆分求和项

将索引$n$拆成两部分:
$$n=Mm+k,0\le k<M,m=0,1,\dots$$
也就是说，我们把$h[n]$分组，每组第$k$个对应:

• $k=0：h[0],h[M],h[2M],....$
• $k=1：h[1],h[M+1],h[2M+1],....$
• $....$
• $k=M-1：h[M-1],h[2M-1],h[3M-1],....$

那么原始滤波器就变为：
$$H(z)=\sum _{n=0}^{N-1}h[n]z^{-n}=\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{m=0}^{\infty }h[Mm+k]z^{-(Mm+k)}$$
注意：当$Mm+k\ge N$时，$h[Mm+k]=0$，所以无穷求和也成立，实际上这个求和是形式上是无穷级数，但实际只有有限项非零，其实应该为${\sum }_{m=0}^{\frac{N-k-1}{M}}h[Mm+k]z^{-(Mm+k)}$

2）提取因子

现在将$z^{-(Mm+k)}=z^{-k}{z}^{-Mm}$拆分出来：
$$H(z)=\sum _{k=0}^{M-1}{z}^{-k}\sum _{m=0}^{\infty }h[Mm+k]z^{-Mm}$$
内层和是关于$m$的，是子滤波器的表达式。我们定义：
$$E_k(z)=\sum _{m=0}^{\infty }h[Mm+k]z^{-m}\Rightarrow E_k(z^M)=\sum _{m=0}^{\infty }h[Mm+k]z^{-mM}$$
最终得到：
$$H(z)=\sum _{k=0}^{M-1}{z}^{-k}{E}_k(z^M)$$

4.总结

截止到当前内容，可以看到：

1. 多相分解本质上是滤波器的数学重构，不改变滤波器的频率响应和功能
2. 只用 polyphase 分解结构组合出的滤波器，结果与原始 FIR 滤波器一样
3. 此时并没有节省计算，甚至由于多设计在实现时更复杂

那么本篇文章在一开始说多项分解是期望计算量可以大大减少，而这里并没有减少计算量，这其实在一开始的定义中就已经说了，是配合抽取或插值时才使用 polyphase，这里就需要结合下面的内容——Noble恒等式。

二、Noble恒等式

1. 定义

假如现在有一个系统，在进行滤波后，需要进行抽取或者插值，那么使用Noble恒等式可以把滤波器移到抽取或插值前（或后），从而减少不必要的计算，以避免对冗余样本进行滤波可显著提高效率。

2.Noble恒等式表达方式

1）抽取系统的 Noble 恒等式

如果一个系统包含一个滤波器$H(z)$，后面跟着一个抽取器$\downarrow M$，那么根据Noble恒等式存在以下关系：
$$H(z)\cdot \downarrow M=\downarrow M\cdot H(z^M)$$
其表明了：将滤波器$H(z)$放在抽取器$\downarrow M$之前，等价于先抽取再使用滤波器$H(z^M)$，其中$H(z^M)$表示将滤波器频率压缩（频谱展开）。

2）插值系统的 Noble 恒等式

如果一个系统包含一个插值器$\uparrow L$，后面跟着一个滤波器$H(z)$，那么根据Noble恒等式存在以下关系：
$$\uparrow L\cdot H(z)=H(z^L)\cdot \uparrow L$$
其表明了：在插值器后进行滤波，等价于先使用变换后的滤波器$H(z^L)$再进行插值）。

2.Nodble恒等式推导

值得注意的是：我们知道抽取等同于下采样，而下采样时需要考虑混叠现象的发生，Noble 恒等式之所以成立，前提是滤波器 $h[n]$是设计合理的，也就是说它已经足够抑制抽取过程可能产生的混叠（aliasing）。

1）符号定义

以FIR滤波器+抽取为例，从上文可知，先滤波再抽取等于先抽取再滤波，即：
$$(x[n]\ast h[n])\downarrow M=(x[n]\downarrow M)\ast h[nM]$$
其中定义：

• $x[n]$: 原始输入信号
• $h[n]$: FIR 滤波器的冲激响应
• $y[n]=x[n]\ast h[n]$: 卷积结果
• $x_e[n]=x[nM]$: 抽取后的输入信号
• $h_e[n]=h[nM]$: 稀疏化后的滤波器
• $y_e[n]=y[nM]$: 抽取后结果

2）先滤波后抽取

• 对于FIR滤波为：
  $$y[n]=x[n]\ast h[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]h[n-k]$$
• 再进行抽取即：
  $$y_e[n]=y[nM]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]h[nM-k]$$
  注意：这里是对输出也就是$y[n]$进行抽样$M$，所以系统输入$x[n]$不变，而FIR滤波器冲激响应应该只对于$nM-k$处存在响应。

3）先抽取后滤波

• 对于$x[n]$抽取：$x_e[n]=x[nM]$
• 对于稀疏滤波器响应：$h_e[n]=h[nM]$
• 带入系统响应
  $$y_1[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{x}_e[k]h_e[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[kM]h[(n-k)M]$$

4）比较左右两式

令$m=kM$，即上式：
$$y_1[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[kM]h[(n-k)M]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[(nM-m)]$$
而$x[kM]$只在$k=m$是$M$的整数倍处非零，所以$y_1[n]=y_e[n]$左右两边等式相同。

3.稀疏滤波器$H(z^M)$

从上式中，对于
$$y_1[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[(nM-m)]$$
只在$M$的整数倍处非零，将原信号拉伸$M$倍，中间插入$M-1$个0。也就是说在系统的冲击响应变成了如下形式：
$$[h[0],0,..0,h[M-1],0,..,0,n(M-1)]$$
根据语音信号处理二十八——采样率转换文章中上采样的过程，这实际上就是插值0的处理，那么对于原滤波器：
$$H(z)=\sum _{n}h[n]z^{-n}⟹H(z^M)=\sum _{n}h[n]z^{-Mn}$$
对于系统的冲击响应为：
$$h[n]⟹h^{\prime }[n]=\{\begin{array}{l}h[n/M],n\equiv 0(\mathrm{mod}M)\\ 0,otherwise\end{array}$$
也就是Noble的滤波器从$H(z)$变为了$H(z^M)$

4.计算量对比

步骤	先滤后抽	先抽后滤（用 Noble 恒等式）
处理采样率	原始速率	降低后的速率（低 M 倍）
滤波器计算次数	所有输入都要处理	只有每 M 个输入处理一次
运算量	高	低
滤波器形态	原始 $H(z)$	$H(z^M)$：频率压缩，稀疏系数

三、高效多相抽取器

此时了解了polyphase多项分解和noble恒等式，那么现在就可以构造一个高效多项抽取器。

1.Polyphase和Noble的关系

• Polyphase中的$E_k(z^M)$：
  回到上文中Polyphase对于长度为$N$的FIR滤波器的分解：
  $$H(z)=\sum _{k=0}^{M-1}{z}^{-k}{E}_k(z^M)$$
  而$E_k(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }h[nM+k]z^{-n}$，得到$E_k(z^M)$为：
  $$E_k(z^M)=\sum _{n=0}^{\infty }h[nM+k]z^{-nM}$$
  根据语音信号处理二十八——采样率转换文章中上采样的过程，这个Polyphase分量的子滤波器同样是一个稀疏滤波器
• Noble中的$H(z^M)$：
  根据上文描述，它一样是一个稀疏滤波器

总结：Polyphase多项分解中，各个子Polyphase分量滤波器已经变成了稀疏滤波器，即Noble恒等式中可以直接在Polyphase多项分解中直接使用。

2.设计一个抽取因子为$M$的系统

1）常规系统结构

x(n) ──► H(z) ──► ↓M ──► y(n)

即：输入信号先通过滤波器$H(z)$，再进行抽取，如果使用常规办法:

• 对每一个输入样本$x[n]$ 都应用完整的滤波器$H(z)$
• 然后只保留每隔$M$个样本一个，丢弃其他

那么会存在以下缺点：

• 大部分滤波器输出最终被丢弃了
• 运算量大

因此我们需要设计一个高效多相抽取器来解决运算量问题

项目	内容
原始结构	$x(n)\to H(z)\to \downarrow M$
问题	计算量大，大部分结果被丢弃
解决步骤	1）Polyphase 分解 2）应用 Noble 恒等式
得到的结构	只计算必要的滤波器输出，每 $M$ 个输入产生一次输出，高效节省计算量

2）使用polyphase分解

根据上文中，先将$H(z)$分解为$M$个
$$H(z)=\sum _{k=0}^{M-1}{z}^{-k}{E}_k(z^M)$$

3）使用Noble恒等式

根据上文，将抽取位置放到滤波之前，滤波器变为$H(z^N)$
$$H(z)\cdot \downarrow M=\downarrow M\cdot H(z^M)$$
即：

x(n) ──► H(z^M) ──► ↓M ──► y(n)

4）Polyphase + Noble

将Noble恒等式滤波器带入，即最后系统结构变为
$$H(z^M)=\sum _{k=0}^{M-1}{z}^{-kM}{E}_k(z^{M^2})$$
对于这个式子，整个系统结构如同下图：

5）整体的系统结构

• 根据上文中Polyphase和Noble的关系，实际上每个子Polyphase分量已经是稀疏滤波器，所以对于$E_k(z^{M^2})$只是用于表达，实际上应用的还是$E_k(z^M)$
• 虽然频域表达上有$z^{-kM}$，是第k个polyphase 分量相对于整体滤波器输出的时间偏移，但是它只是推导过程中出现的一个中间形式。在时域结构中，这个延迟已经隐含在多通道输入顺序和采样调度中，不需要手动加 delay block。

所以整体的系统结构和上文中公式表述的结构区别如同下图：

四、实现高效QMF滤波器组

1. 设计目标

使用Noble+polyphase多项分解实现一个QMF滤波器组，给出matlab代码，要求：

1. 16k采样率的信号，使用一个2kHz和6kHz的正弦信号
2. 对于原始序列进行频带分割和重组
3. 镜像滤波器使用FIR滤波器设计，同时使用汉明窗

输出：
4. 画出原始序列的频谱
5. 画出分割后的低频和高频频谱
6. 画出重组后的频谱
7. 画出原始的时域图和重组后的时域图

2.设计思路

在上一篇文章中，语音信号处理二十九——QMF滤波器设计原理与实现已经介绍了QMF滤波器组中镜像滤波器的设计原理，这里不再赘述，整体的思路如下：

步骤	描述
1	设计线性相位原型滤波器 $H_0(z)$
2	构造 $H_1(z)=H_0(-z)$
3	构造合成滤波器 $G_0(z)=H_0(z),G_1(z)=-H_0(-z)$
4	对所有滤波器进行 polyphase 分解
5	应用 Noble 恒等式将抽/插采样前移/后移，提高效率
6	构建完整的滤波器组结构，实现高效 PR 系统

3.实现代码

clc; clear; close all;
fs = 16000;
t = 0:1/fs:0.05;
x = sin(2*pi*2000*t) + sin(2*pi*6000*t);   % 输入信号%% 设计 QMF 滤波器组
M = 64;                                    % 滤波器长度
h0 = fir1(M-1, 0.5, hamming(M));           % 低通滤波器
h1 = h0 .* ((-1).^(0:M-1));                % 高通镜像滤波器% 多项分解：偶数项、奇数项
h0_even = h0(1:2:end);                     % E0
h0_odd  = h0(2:2:end);                     % E1
h1_even = h1(1:2:end);                     % E0'
h1_odd  = h1(2:2:end);                     % E1'% 将信号分为偶数采样、奇数采样（Noble 恒等式：下采样前移）
x_even = x(1:2:end);     % 下采样偶数点
x_odd  = x(2:2:end);     % 下采样奇数点% 对下采样信号分别使用 polyphase 分支滤波器
% 偶数采样信号滤波
y0_even = filter(h0_even, 1, x_even);
y0_odd  = filter(h0_odd,  1, x_odd);y1_even = filter(h1_even, 1, x_even);
y1_odd  = filter(h1_odd,  1, x_odd);% 由于x_even和x_odd长度可能不同，取最小长度裁剪
min_len = min([length(y0_even), length(y0_odd), length(y1_even), length(y1_odd)]);y0 = y0_even(1:min_len) + y0_odd(1:min_len);
y1 = y1_even(1:min_len) + y1_odd(1:min_len);%% 合成滤波器组（多项 + 上采样 + Noble）
% 合成滤波器多项
g0_even = h0_even; g0_odd = h0_odd;
g1_even = h1_even; g1_odd = h1_odd;v0_even = filter(g0_even, 1, y0);
v0_odd  = filter(g0_odd,  1, y0);
v1_even = filter(g1_even, 1, y1);
v1_odd  = filter(g1_odd,  1, y1);min_len2 = min([length(v0_even), length(v0_odd), length(v1_even), length(v1_odd)]);xr = zeros(1, 2*min_len2);
xr(1:2:end) = v0_even(1:min_len2) + v1_even(1:min_len2);
xr(2:2:end) = v0_odd(1:min_len2)  + v1_odd(1:min_len2);%% 频谱可视化
NFFT = 1024;
f = fs*(0:NFFT/2-1)/NFFT;
X = fft(x, NFFT);figure;
subplot(2,3,1); plot(t, x); title('原始信号（时域）');
subplot(2,3,2); plot(f, abs(X(1:NFFT/2))); title('原始信号频谱');% 画低频子带频谱\高频子带频谱
fs_sub = fs / 2;   % 子带采样率 8kHz
f_sub = fs_sub*(0:NFFT/2-1)/NFFT;Y0 = fft(y0, NFFT);
Y1 = fft(y1, NFFT);subplot(2,3,3);
plot(f_sub, abs(Y0(1:NFFT/2)));
title('低频子带频谱');
xlabel('频率 (Hz)');
subplot(2,3,4);
plot(f_sub, abs(Y1(1:NFFT/2)));
title('高频子带频谱');
xlabel('频率 (Hz)');t_rec = (0:length(xr)-1) / fs;
X_rec = fft(x, NFFT);
subplot(2,3,5); plot(t_rec, xr); title('重构信号（时域）');
subplot(2,3,6); plot(f, abs(X_rec(1:NFFT/2))); title('重构信号频谱');

4.输出结果

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总结

高效多相抽取器是一种能够在进行抽取处理时，将滤波操作和下采样合并，显著降低计算量的滤波器结构。

对于polyphase多项分解和Noble恒等式存在具体的数学推导应该很容易理解，主要是对于高效多项抽取器中两者的组合，那里对于相位延迟和稀疏滤波器的地方容易放人混淆。

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