动态多目标进化算法：VARE（Vector Autoregressive Evolution）求解DF1-DF14，提供完整MATLAB代码

一、VARE简介

VARE（Vector Autoregressive Evolution）算法是2023年提出的一种新型的动态多目标优化（DMO）算法，旨在有效处理随时间变化的多目标优化问题。它通过结合向量自回归（VAR）模型和环境感知超变异（EAH）策略，动态适应环境变化，预测新的 Pareto 最优解，并保持种群多样性。VARE 的主要贡献在于提出了一个能够考虑决策变量之间相互关系的 VAR 模型用于种群预测，并引入 EAH 策略来动态调整种群多样性。

（1）向量自回归（VAR）模型

VAR 模型是一种用于预测相互联系的时间序列系统的统计模型。在 VARE 算法中，VAR 模型用于预测新环境中的解，考虑了决策变量之间的相互关系。VAR 模型的数学形式如下：

$x_t = α + β_1x_{t-1} + β_2x_{t-2} + \cdots + β_lx_{t-l} + µ$

其中：

$x_t$ 是一个 n 维内生变量向量，表示当前时刻的决策变量。
$α$ 是一个 n 维常数向量。
$β_1, β_2, \ldots, β_l$ 是模型的系数矩阵，表示不同滞后阶数对当前值的影响。
$l$ 是滞后阶数，表示模型考虑的过去时间步数。
$µ$ 是一个零均值白噪声向量，表示模型的误差项。

在 VARE 中，为了处理高维决策变量带来的参数稀疏问题，使用主成分分析（PCA）进行降维。首先将历史解数据映射到低维空间，然后在低维空间中构建 VAR 模型，最后将预测结果映射回原始决策空间。

（2）环境感知超变异（EAH）策略

EAH 策略用于动态调整种群多样性，以应对环境变化。EAH 根据目标空间和决策空间的变化估计环境变化的严重程度，并据此调整超变异的分布指数。具体计算如下：

客观空间变化度量

在目标空间，EAH 计算所有目标的相对差异平均值 (∆F)：

$\frac{1}{MN} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M \left| \frac{f_j(x_i, t+1) - f_j(x_i, t)}{f_j(x_i, t) + ε} \right|$

其中：

$M$ 是目标数量。
$N$ 是种群大小。
$f_j(x_i, t)$ 是个体 $x_i$ 在时间 $t$ 的第 $j$ 个目标值。
$ε$ 是一个小常数，用于防止除以零。

决策空间变化度量

在决策空间，EAH 计算每个个体的相对决策差异平均值 (∆X)：

$\frac{1}{Nn} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^n \left| \frac{\hat{x}_{i,j} - x_{i,j}}{x_{i,j} + ε} \right|$

其中：

$n$ 是决策变量的数量。
$x_{i,j}$ 是个体 $x_i$ 在时间 $t$ 的第 $j$ 个决策变量值。
$\hat{x}_{i,j}$ 是个体 $x_i$ 在时间 $t + 1$ 的第 $j$ 个决策变量值。

分布指数调整

根据 $∆ F$ 和 $∆ X$ 计算超变异的分布指数 $η$ ：

$\times \max(e^{-(∆F + ∆X)}, 0.1)$

该公式将 $η$ 的取值范围限制在 [2, 20]，其中 $η = 20$ 表示没有环境变化，而 $η \geq 2$ 则确保超变异的解不会过于随机。

（3）自适应变化响应机制

VARE 算法通过自适应变化响应机制，在 VAR 预测和 EAH 之间进行选择。选择机制基于过去环境变化中不同策略的成功率。具体来说，为每个参考方向 $λ_i$ 定义选择 VAR 预测的概率 $π_i$ ：

$π_i = \frac{ρ_{i,p}}{ρ_{i,p} + ρ_{i,m}}$

其中：

$ρ_{i,s}$ 是策略 $s$ （可以是 VAR 预测或 EAH）在过去 $L$ 个环境变化中生成的个体被保留下来的比率。
$L$ 是过去环境变化的数量，通常设置为等于 VAR 模型的滞后阶数 $l$ 。

（4）算法流程

初始化：生成均匀分布的参考方向，初始化种群和 VARE 概率向量。
环境变化检测：在每一代开始时检测环境是否发生变化。
响应环境变化：
- 如果检测到环境变化，将当前种群存档，并根据 VARE 概率决定使用 VAR 预测还是 EAH 生成新个体。
- 若未检测到环境变化，则通过遗传操作生成新种群。
多样性中心排序：对当前种群和新生成的个体进行多样性中心排序，更新种群。
更新 VARE 概率：根据个体保留的成功率更新 VARE 概率。

（5）关键创新点

向量自回归（VAR）模型：用于考虑决策变量之间的相互关系，预测新环境中的解。通过主成分分析（PCA）进行降维，提高模型参数估计效率。
环境感知超变异（EAH）：根据目标空间和决策空间的变化估计环境变化的严重程度，动态调整超变异的分布指数，增加种群多样性。
自适应变化响应机制：根据过去环境变化中不同策略的成功率，自适应选择 VAR 预测或 EAH 作为响应机制。

（6）参考文献

[1] Jiang S , Wang Y , Hu Y ,et al. Vector Autoregressive Evolution for Dynamic Multi-Objective Optimisation[J]. ArXiv, 2023, abs/2305.12752.DOI:10.48550/arXiv.2305.12752.

二、VARE求解DF1-DF14

（1）CEC2018 动态多目标测试函数介绍

CEC2018 竞赛定义了 14 个动态多目标测试函数（DF1-DF14），分为两类：
在这里插入图片描述

双目标问题（DF1-DF9）：这些函数具有两个目标，用于测试算法在动态环境下的性能。
三目标问题（DF10-DF14）：这些函数具有三个目标，增加了优化的复杂性。

这些测试函数设计了不同的动态特性，以评估动态多目标优化算法的性能。动态特性包括：

目标位置变化：Pareto 最优前沿（PF）或 Pareto 最优解集（PS）的位置随时间变化。
约束条件变化：动态约束条件的引入或变化。
目标数量或决策变量数量变化：在某些测试函数中，目标数量或决策变量数量可能随时间变化。

测试函数	目标数量	动态特性
DF1	2	PF 的位置随时间线性移动
DF2	2	PF 的位置随时间非线性移动
DF3	2	PF 的位置和形状随时间变化
DF4	2	PF 的位置和形状随时间剧烈变化
DF5	2	PF 的凸性随时间变化
DF6	2	PF 的凹性随时间变化，并引入局部最优解
DF7	2	PF 的不同部分以不同方向和速度移动
DF8	2	PF 的不同部分以不同方向和速度移动，且存在多个膝点
DF9	2	PF 断裂成多个部分
DF10	3	PF 的位置随时间移动
DF11	3	PF 的位置和形状随时间变化
DF12	3	PF 的位置和形状随时间剧烈变化
DF13	3	PF 的凸性随时间变化
DF14	3	PF 的凹性随时间变化，并引入局部最优解

（2）部分MATLAB代码

%% 计算POF
for i=1:size(ArchiveResult{1,1}{1,1},1)/(10*nt*taut)k1=1+(i-1)*(10*nt*taut);k2=k1+nt*taut;if prob_ids<110data=ArchiveResult{1,1}{1,1}(k1:k2,end-1:end);elsedata=ArchiveResult{1,1}{1,1}(k1:k2,end-2:end);endresult(i).data=data;%     plot(data(:,1)+i,data(:,2)+i,'ro')%     hold on
end
%% 计算TurePOF
prob=problem(prob_ids);
k=1;
for t=0:1:100/taut-1PF(k).data=generatePF(prob,t);PF(k).t=t;k=k+1;
end%% 画图
figure
Fm=size(PF,2);
Tm=size(PF(1).data,2);
if Tm<3for t=1:Fmplot(result(t).data(:,1)+PF(t).t,result(t).data(:,2)+PF(t).t,'ro');hold onplot(PF(t).data(:,1)+PF(t).t,PF(t).data(:,2)+PF(t).t,'g.');endxlabel('f1+t')ylabel('f2+t')
elsefor t=1:Fmplot3(result(t).data(:,1)+PF(t).t,result(t).data(:,2)+PF(t).t,result(t).data(:,3)+PF(t).t,'ro');hold onplot3(PF(t).data(:,1)+PF(t).t,PF(t).data(:,2)+PF(t).t,PF(t).data(:,3)+PF(t).t,'g.');endxlabel('f1+t')ylabel('f2+t')zlabel('f3+t')
end
title(prob.name)