《自动控制原理》- 第 1 章自动控制的基本原理与方式

1-1 自动控制的基本原理与方式

自动控制是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置，使机器、设备或生产过程的某个工作状态或参数按照预定的规律运行。自动控制的核心原理是反馈控制，即通过将系统的输出量回送到输入端，与输入量进行比较，利用偏差信号产生控制作用，使被控量趋于要求值。

开环控制系统与闭环控制系统

开环控制系统原理

开环控制系统是指输出量与输入量之间没有反向联系，只靠输入量对输出量单向控制的系统。其结构简单，但抗干扰能力差，控制精度不高。

图 1-1 开环控制系统结构流程图

闭环控制系统原理

闭环控制系统是指输出量与输入量之间有反向联系，靠输入量与主反馈信号之间的偏差对输出量进行控制的系统。闭环控制系统通过负反馈实现按偏差控制，具有纠正偏差的能力，抗扰性好，控制精度高。

图 1-2 闭环控制系统结构流程图

反馈控制原理 Python 实现

用Python 代码模拟一个简单的温度控制系统，比较开环和闭环控制的效果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 系统参数
ambient_temp = 25  # 环境温度(°C)
system_gain = 0.8  # 系统增益
time_constant = 10  # 时间常数(秒)
disturbance = 5  # 扰动温度(°C)# 时间序列
time = np.arange(0, 100, 0.1)# 开环控制系统模拟
def open_loop_control(setpoint, disturbance):"""开环控制系统温度模拟"""output = np.zeros_like(time)output[0] = ambient_tempfor i in range(1, len(time)):# 开环控制：直接根据设定值计算输出，无反馈control_signal = setpoint# 一阶系统动态响应output[i] = output[i-1] + (system_gain * control_signal - (output[i-1] - ambient_temp) / time_constant) * 0.1# 加入扰动if time[i] > 50:output[i] += disturbancereturn output# 闭环控制系统模拟
def closed_loop_control(setpoint, disturbance):"""闭环控制系统温度模拟"""output = np.zeros_like(time)output[0] = ambient_temperror = setpoint - output[0]kp = 1.2  # 比例控制增益for i in range(1, len(time)):# 闭环控制：根据误差计算控制信号error = setpoint - output[i-1]control_signal = kp * error# 一阶系统动态响应output[i] = output[i-1] + (system_gain * control_signal - (output[i-1] - ambient_temp) / time_constant) * 0.1# 加入扰动if time[i] > 50:output[i] += disturbancereturn output# 设定值
setpoint = 60  # 目标温度(°C)# 运行模拟
open_loop_output = open_loop_control(setpoint, disturbance)
closed_loop_output = closed_loop_control(setpoint, disturbance)# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(time, open_loop_output, 'r-', label='开环控制')
plt.plot(time, closed_loop_output, 'b-', label='闭环控制')
plt.axhline(y=setpoint, color='g', linestyle='--', label='设定值')
plt.axhline(y=ambient_temp, color='k', linestyle=':', label='环境温度')
plt.axvline(x=50, color='m', linestyle='--', label='扰动加入')
plt.xlabel('时间(秒)')
plt.ylabel('温度(°C)')
plt.title('开环与闭环控制系统温度响应对比')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()# 计算稳态误差
open_loop_steady_state = open_loop_output[-1]
closed_loop_steady_state = closed_loop_output[-1]
open_loop_error = setpoint - open_loop_steady_state
closed_loop_error = setpoint - closed_loop_steady_stateprint(f"开环控制稳态温度: {open_loop_steady_state:.2f}°C, 稳态误差: {open_loop_error:.2f}°C")
print(f"闭环控制稳态温度: {closed_loop_steady_state:.2f}°C, 稳态误差: {closed_loop_error:.2f}°C")

上述代码模拟了一个简单的温度控制系统，比较了开环和闭环控制在面对扰动时的表现。从结果可以看出，闭环控制系统能够有效减小稳态误差，抵抗扰动的影响。

1-2 自动控制系统示例

电机转速控制系统

电机转速控制是自动控制领域的经典示例，下面我们通过 Python 代码模拟一个直流电机转速控制系统，分别实现开环控制和闭环控制，并比较两者的性能。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp# 电机参数
J = 0.01  # 转动惯量(kg·m^2)
B = 0.01  # 阻尼系数(N·m·s/rad)
K = 0.1   # 电机常数(V·s/rad)
R = 1.0   # 电枢电阻(Ω)
L = 0.01  # 电枢电感(H)# 系统动态方程 - 开环
def open_loop_system(t, x, u):"""开环系统状态方程: x = [i, ω]"""i, omega = xdidt = (-R/L)*i - (K/L)*omega + u/Ldomegadot = (K/J)*i - (B/J)*omegareturn [didt, domegadot]# 系统动态方程 - 闭环
def closed_loop_system(t, x, u, setpoint, kp, ki):"""闭环系统状态方程: x = [i, ω, error_integral]"""i, omega, error_int = xerror = setpoint - omega# PID控制control_signal = kp * error + ki * error_intdidt = (-R/L)*i - (K/L)*omega + control_signal/Ldomegadot = (K/J)*i - (B/J)*omegaderror_int = errorreturn [didt, domegadot, derror_int]# 模拟开环控制
def simulate_open_loop(setpoint, disturbance=0, u=10):"""模拟开环控制"""# 初始状态: 电流i=0, 转速omega=0t_span = (0, 5)t_eval = np.linspace(0, 5, 500)y0 = [0, 0]# 加入扰动函数def disturbance_func(t):if t > 2:return disturbancereturn 0# 求解微分方程sol = solve_ivp(lambda t, x: open_loop_system(t, x, u + disturbance_func(t)),t_span, y0, t_eval=t_eval, method='RK45')return sol.t, sol.y[1]  # 返回时间和转速# 模拟闭环控制
def simulate_closed_loop(setpoint, disturbance=0, kp=5, ki=0.1):"""模拟闭环控制"""# 初始状态: 电流i=0, 转速omega=0, 误差积分=0t_span = (0, 5)t_eval = np.linspace(0, 5, 500)y0 = [0, 0, 0]# 加入扰动函数def disturbance_func(t):if t > 2:return disturbancereturn 0# 求解微分方程sol = solve_ivp(lambda t, x: closed_loop_system(t, x, disturbance_func(t), setpoint, kp, ki),t_span, y0, t_eval=t_eval, method='RK45')return sol.t, sol.y[1]  # 返回时间和转速# 设定参数
setpoint = 100  # 目标转速(rad/s)
disturbance = 5  # 扰动转矩(N·m)# 运行模拟
t_open, omega_open = simulate_open_loop(setpoint, disturbance)
t_closed, omega_closed = simulate_closed_loop(setpoint, disturbance)# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t_open, omega_open, 'r-', label='开环控制转速')
plt.axhline(y=setpoint, color='g', linestyle='--', label='目标转速')
plt.axvline(x=2, color='m', linestyle='--', label='扰动加入')
plt.xlabel('时间(秒)')
plt.ylabel('转速(rad/s)')
plt.title('开环控制系统电机转速响应')
plt.legend()
plt.grid(True)plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(t_closed, omega_closed, 'b-', label='闭环控制转速')
plt.axhline(y=setpoint, color='g', linestyle='--', label='目标转速')
plt.axvline(x=2, color='m', linestyle='--', label='扰动加入')
plt.xlabel('时间(秒)')
plt.ylabel('转速(rad/s)')
plt.title('闭环控制系统电机转速响应')
plt.legend()
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()# 计算性能指标
def calculate_performance(t, omega, setpoint):"""计算系统性能指标"""# 稳态转速steady_state = omega[-1]# 稳态误差steady_error = setpoint - steady_state# 上升时间(达到90%设定值的时间)idx = np.where(omega >= 0.9 * setpoint)[0]rise_time = t[idx[0]] if len(idx) > 0 else None# 超调量overshoot = np.max(omega) - setpoint if np.max(omega) > setpoint else 0return {'稳态转速': steady_state,'稳态误差': steady_error,'上升时间': rise_time,'超调量': overshoot}# 计算并打印性能指标
print("开环控制系统性能指标:")
print(calculate_performance(t_open, omega_open, setpoint))print("\n闭环控制系统性能指标:")
print(calculate_performance(t_closed, omega_closed, setpoint))

上述代码模拟了一个直流电机转速控制系统，分别实现了开环控制和闭环控制，并在 2 秒时加入扰动转矩。通过比较可以看出，闭环控制系统在面对扰动时能够更快地恢复到目标转速，并且稳态误差更小。

系统方块图

图 1-3 电机转速闭环控制系统方块图

1-3 自动控制系统的分类

自动控制系统可以从不同角度进行分类，下面通过思维导图展示主要的分类方式：

图 1-4 自动控制系统分类思维导图

按控制方式分类

1. 开环控制系统

结构简单、经济
调试方便
抗干扰能力差，控制精度不高

2. 反馈控制系统（闭环控制系统）

具有纠正偏差的能力
抗扰性好，控制精度高
结构复杂，价格高

3. 复合控制系统

开环与闭环控制的结合
具有更高的控制精度

按系统特性分类

1. 线性系统与非线性系统

线性系统：满足叠加原理
非线性系统：不满足叠加原理，存在非线性元件

2. 连续控制系统与离散控制系统

连续控制系统：系统中各处的信号均为连续时间信号
离散控制系统：系统中一处或多处的信号为离散时间信号

3. 定常系统与时变系统

定常系统：系统参数不随时间变化
时变系统：系统参数随时间变化

按给定值变化规律分类

1. 恒值控制系统

输入量是恒定的常值
任务：在各种扰动作用下使输出量保持在恒定希望值附近
示例：恒温、恒压控制系统

2. 随动系统（跟踪系统）

输入量是事先不知道的任意时间函数
任务：使输出量迅速而准确地跟随输入量的变化
示例：雷达自动跟踪系统

3. 程序控制系统

输入量按照给定的程序变化
任务：使输出量按预先给定的程序指令动作
示例：数控车床、机器人控制系统

1-4 对自动控制系统的基本要求

对自动控制系统的基本要求可以概括为三个字：稳、快、准，即稳定性、快速性和准确性。

1. 稳定性

稳定性是指系统重新恢复平衡状态的能力，是对控制系统的最基本要求。一个稳定的系统在受到扰动后，经过一段时间的过渡过程，能够回到或接近原来的平衡状态。

2. 快速性

快速性是指过渡过程进行时间的长短。快速性好的系统能够在较短的时间内完成过渡过程，减少系统的响应时间。

3. 准确性

准确性是指过渡过程结束后的稳态误差，反映了系统的控制精度。准确性好的系统能够使输出量尽可能接近期望值。

用Python 代码模拟不同阻尼比的二阶系统阶跃响应，展示稳定性、快速性和准确性的变化：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from control import tf, step_response# 定义二阶系统传递函数
def second_order_system(wn, zeta):"""创建二阶系统传递函数wn: 自然频率zeta: 阻尼比"""num = [wn**2]den = [1, 2*zeta*wn, wn**2]return tf(num, den)# 系统参数
wn = 10  # 自然频率
zeta_values = [0.2, 0.5, 1.0, 1.5]  # 不同阻尼比# 绘制不同阻尼比的阶跃响应
plt.figure(figsize=(12, 8))for zeta in zeta_values:sys = second_order_system(wn, zeta)t, y = step_response(sys, T=np.linspace(0, 2, 1000))# 计算性能指标steady_state = y[-1]steady_error = 1 - steady_state# 上升时间(达到90%的时间)idx = np.where(y >= 0.9)[0]rise_time = t[idx[0]] if len(idx) > 0 else None# 超调量overshoot = np.max(y) - 1 if np.max(y) > 1 else 0# 调整时间(2%误差带)idx = np.where(np.abs(y - 1) < 0.02)[0]settling_time = t[idx[-1]] if len(idx) > 0 else Noneplt.plot(t, y, label=f'ζ={zeta}, 超调量={overshoot*100:.1f}%, 调整时间={settling_time:.2f}s')plt.axhline(y=1, color='k', linestyle='--', label='期望值')
plt.axhline(y=1.02, color='g', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.axhline(y=0.98, color='g', linestyle=':', alpha=0.5, label='2%误差带')
plt.xlabel('时间(秒)')
plt.ylabel('系统输出')
plt.title('不同阻尼比二阶系统阶跃响应')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()# 打印性能指标表格
print("不同阻尼比二阶系统性能指标对比:")
print("-" * 70)
print(f"{'阻尼比ζ':<10}{'超调量(%)':<15}{'上升时间(s)':<15}{'调整时间(s)':<15}{'稳态误差':<15}")
print("-" * 70)for zeta in zeta_values:sys = second_order_system(wn, zeta)t, y = step_response(sys, T=np.linspace(0, 2, 1000))steady_state = y[-1]steady_error = 1 - steady_stateidx_rise = np.where(y >= 0.9)[0]rise_time = t[idx_rise[0]] if len(idx_rise) > 0 else Noneovershoot = np.max(y) - 1 if np.max(y) > 1 else 0idx_settle = np.where(np.abs(y - 1) < 0.02)[0]settling_time = t[idx_settle[-1]] if len(idx_settle) > 0 else Noneprint(f"{zeta:<10.1f}{overshoot*100:<15.1f}{rise_time:<15.2f}{settling_time:<15.2f}{steady_error:<15.6f}")

上述代码模拟了不同阻尼比的二阶系统阶跃响应，通过改变阻尼比 ζ 的值，我们可以观察到系统性能的变化：

当 ζ<1 时，系统为欠阻尼，响应有超调，但上升时间短
当 ζ=1 时，系统为临界阻尼，无超调，响应速度较快
当 ζ>1 时，系统为过阻尼，无超调，但响应速度较慢

1-5 自动控制系统的分析与设计工具

经典控制理论工具

经典控制理论主要以传递函数为数学工具，研究单输入单输出 (SISO)、线性定常系统的分析和设计。主要分析工具包括：

图 1-5 经典控制理论分析工具思维导图

时域分析工具示例

用 Python 的 control 库进行时域分析，包括传递函数定义、阶跃响应分析和性能指标计算：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from control import tf, step_response, pzmap, rlocus# 定义系统传递函数 - 二阶系统
wn = 5  # 自然频率
zeta = 0.5  # 阻尼比
num = [wn**2]
den = [1, 2*zeta*wn, wn**2]
sys = tf(num, den)print("系统传递函数:")
print(sys)# 计算阶跃响应
t, y = step_response(sys, T=np.linspace(0, 5, 1000))# 绘制阶跃响应曲线
plt.figure(figsize=(12, 10))plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(t, y)
plt.axhline(y=1, color='r', linestyle='--', label='期望值')
plt.xlabel('时间(秒)')
plt.ylabel('系统输出')
plt.title('二阶系统阶跃响应')
plt.legend()
plt.grid(True)# 计算性能指标
from control.matlab import stepinfo  # 需要安装control库的matlab兼容性函数info = stepinfo(sys)
print("\n阶跃响应性能指标:")
print(f"上升时间: {info['RiseTime']:.4f} 秒")
print(f"峰值时间: {info['PeakTime']:.4f} 秒")
print(f"超调量: {info['Overshoot']:.2f} %")
print(f"调整时间: {info['SettlingTime']:.4f} 秒")
print(f"稳态值: {info['SteadyStateValue']:.4f}")
print(f"稳态误差: {1 - info['SteadyStateValue']:.4f}")# 绘制零极点图
plt.subplot(2, 2, 2)
pzmap(sys)
plt.title('系统零极点图')
plt.grid(True)# 绘制根轨迹图
plt.subplot(2, 2, 3)
rlocus(sys)
plt.title('系统根轨迹图')
plt.grid(True)# 伯德图
plt.subplot(2, 2, 4)
mag, phase, omega = sys.bode()
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(omega, mag)  # 绘制幅值图
plt.title('伯德图')
plt.ylabel('幅值(dB)')
plt.grid(True)
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(omega, phase)  # 绘制相位图
plt.xlabel('频率(rad/s)')
plt.ylabel('相位(度)')
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()