自适应反步控制

1. 基本思想

基于传统反步法，考虑了系统方程中以线性形式出现的未知参数。核心思想包括参数估计率和控制率。

考虑二阶系统：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2+{\phi }_1^T(x_1)\theta \\ {\dot{x}}_2=u+{\phi }_2^T(x_1,x_2)\theta \end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $\theta$ 是未知的常数参数（列向量），${\phi }_1(x_1)$ 和 ${\phi }_2(x_1,x_2)$ 为已知的非线性函数。$u$ 是控制输入，$x_r$ 是 $x_1$ 期望跟踪到的轨迹。

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设计目标有二：确保闭环系统的所有状态保持有界；让 $x_1$ 渐进跟踪到 $x_r$。

假设：参考轨迹 $x_r$ 及其导数有界并可预测；${\phi }_1(x_1)$ 和 ${\phi }_2(x_1,x_2)$ 是已知且连续可微的；参数不确定性是线性形式出现的。这些假设的目的是保证在设计自适应律时，Lyapunov 导函数可以被有效约束，并且更新率是可实现的。

如果参数 $\theta$ 已知，可以使用静态积分分反步法设计虚拟控制率 ${\alpha }_1$，但此处的参数 $\theta$ 并非已知，所以需要设计合适的 $\theta$ 更新规则以保证闭环稳定。

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A. 第一步

定义跟踪误差
$$z_1=x_1-x_r\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$z_2=x_2-{\alpha }_1-{\dot{x}}_r\text{\hspace{1em}(3)}$$

$z_2$ 表示“实际 $x_2$ 与理想目标值 ${\alpha }_1+{\dot{x}}_r$ 之间的偏差”。

对(2)求导数，并将(1)、(3)带入：
$${\dot{z}}_1={\dot{x}}_1-{\dot{x}}_r=x_2+{\phi }_1^T(x_1)\theta -x_2+z_2+{\alpha }_1=z_2+{\alpha }_1+{\phi }_1^T\theta \text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $\theta$ 是未知的，不能直接使用已知参数的反步法。设计 ${\hat{\theta }}_1$ 用以近似 $\theta$；同时设计一个参数更新率来在线调整 ${\hat{\theta }}_1$。

设计 Lyapunov 候选函数：
$$V_1=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{\tilde{\theta }}_1^T{\Gamma }^{-1}{\tilde{\theta }}_1\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中 $\Gamma >0$ 是参数更新率的自适应增益矩阵，${\tilde{\theta }}_1=\theta -{\hat{\theta }}_1$ 表示参数估计误差。

对其求导：
$${\dot{V}}_1=z_1{\dot{z}}_1+{\tilde{\theta }}_1^T{\Gamma }^{-1}{\dot{\tilde{\theta }}}_1\text{\hspace{1em}(6)}$$

将(4)带入：
$${\dot{V}}_1=z_1(z_2+{\alpha }_1+{\phi }_1^T\theta )+{\tilde{\theta }}_1^T{\Gamma }^{-1}{\dot{\tilde{\theta }}}_1\text{\hspace{1em}(7)}$$

展开：
$${\dot{V}}_1=z_1{z}_2+z_1{\alpha }_1+z_1{\phi }_1^T{\hat{\theta }}_1+z_1{\phi }_1^T{\tilde{\theta }}_1-{\tilde{\theta }}_1^T{\Gamma }^{-1}{\dot{\hat{\theta }}}_1\text{\hspace{1em}(8)}$$

由于 ${\phi }_1^T\tilde{\theta }={\tilde{\theta }}_1^T{\phi }_1$，可得：
$${\dot{V}}_1=z_1{z}_2+z_1{\alpha }_1+z_1{\phi }_1^T{\hat{\theta }}_1+{\tilde{\theta }}_1^T({\phi }_1{z}_1-{\Gamma }^{-1}{\dot{\hat{\theta }}}_1)\text{\hspace{1em}(9)}$$

定义虚拟控制 ${\alpha }_1$ 和参数更新率：
$${\alpha }_1=-c_1{z}_1-{\phi }_1^T{\hat{\theta }}_1$$
$${\dot{\hat{\theta }}}_1=\Gamma {\phi }_1{z}_1\text{\hspace{1em}(10)}$$

带入可得：
$${\dot{V}}_1=-c_1{z}_1^2+z_1{z}_2\text{\hspace{1em}(11)}$$

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B. 第二步

设计实际控制输入 $u$，使 $z_2\to 0$。

由(3)可得：
$${\dot{z}}_2={\dot{x}}_2-{\dot{\alpha }}_1-{\ddot{x}}_r\text{\hspace{1em}(12)}$$

注意 ${\alpha }_1$ 实际上是 $x_1$、${\hat{\theta }}_1$、$x_r$ 的函数，故采用复合函数求导方式。

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选取新的 Lyapunov 函数：
$$V_2=V_1+\frac{1}{2}{z}_2^2\text{\hspace{1em}(14)}$$

求导：
$${\dot{V}}_2=-c_1{z}_1^2+z_2(z_1+{\dot{z}}_2)\text{\hspace{1em}(15)}$$

为消除未知参数项 $\theta$，设计：
$$u=-z_1-c_2{z}_2+\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial x_1}{x}_2-{\left({\phi }_2-\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial x_1}{\phi }_1\right)}^T{\hat{\theta }}_2+\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial {\hat{\theta }}_1}\Gamma {\phi }_1{z}_1+\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial x_r}{\dot{x}}_r+{\ddot{x}}_r\text{\hspace{1em}(18)}$$

此时(13)变为：
$${\dot{z}}_2=-z_1-c_2{z}_2+{\left({\phi }_2-\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial x_1}{\phi }_1\right)}^T(\theta -{\hat{\theta }}_2)\text{\hspace{1em}(19)}$$

定义新的 Lyapunov 函数：
$$V_2=V_1+\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2}{\tilde{\theta }}_2^T{\Gamma }^{-1}{\tilde{\theta }}_2\text{\hspace{1em}(20)}$$

求导：
$${\dot{V}}_2=-c_1{z}_1^2-c_2{z}_2^2-{\tilde{\theta }}_2^T{\Gamma }^{-1}{\dot{\hat{\theta }}}_2+{\tilde{\theta }}_2^T\left({\phi }_2-\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial x_1}{\phi }_1\right)z_2\text{\hspace{1em}(21)}$$

令：
$${\dot{\hat{\theta }}}_2=\Gamma \left({\phi }_2-\frac{\partial {\alpha }_1}{\partial x_1}{\phi }_1\right)z_2\text{\hspace{1em}(22)}$$

最终得到：
$${\dot{V}}_2=-c_1{z}_1^2-c_2{z}_2^2\text{\hspace{1em}(23)}$$

可保证系统全局渐近稳定。