基于铁头山羊STM32的平衡车电机转速开环闭环matlab仿真

前言
一、电机开环传递函数
- 1.1 电机开环传递函数的零极点
- 1.2 求系统的参数和绘制波特图
二、增加PI控制器后系统开环传递函数
三、电机系统闭环传递函数
四、simulink仿真
五、幅值裕度、相位裕度、相位穿越频率和截止频率（补充知识）
- 5.1 幅值裕度（Gain Margin, GM）
- 5.2 相位裕度（Phase Margin, PM）
- 5.3 相位穿越频率（Phase Crossover Frequency, Wcg）
- 5.4 截止频率（Gain Crossover Frequency, Wcp）
- 5.5 matlab函数margin()
- - 5.5.1 `inf`（Infinity，无穷大）
  - 5.5.2 `NaN`（Not a Number，非数值）

前言

本文首先向铁头山羊致敬！在B站上的讲平衡车的视频做的不错，具体大家可以点击这个链接跳转观看。
本文的内容是针对电机开环传递函数和闭环传递函数的matlab仿真，涉及一些内部的函数，经过仿真，对实际的控制系统理解更深一步。

一、电机开环传递函数

对于开环传递函数是铁头山羊在B站视频里一步步推导，最后测量参数得出来的，大家有疑问可以去看看，最后的传递函数是下面我输入matlab的公式。

1.1 电机开环传递函数的零极点

使用Matlab绘制波特图，求系统的参数：

clc
clear
s = tf('s');
%电机的开环传递函数
MotorOpenLoopTransferFun = 5.591/((s/14.2 +1)*(s/1962+1))
zpk_MotorOpenLoopTransferFun = zpk(MotorOpenLoopTransferFun)

输出的结果：

MotorOpenLoopTransferFun =1.558e05-----------------------s^2 + 1976 s + 2.786e04连续时间传递函数。zpk_MotorOpenLoopTransferFun =1.5577e+05-----------------(s+1962) (s+14.2)连续时间零点/极点/增益模型。

显然，没有零点，极点有-1962，-14.2。采用matlab帮我们整理一下：

%增益
MotorOpenLoopTransferFun_K = dcgain(MotorOpenLoopTransferFun)
%零点
MotorOpenLoopTransferFun_Z = zero(MotorOpenLoopTransferFun)
%极点
MotorOpenLoopTransferFun_P = pole(MotorOpenLoopTransferFun)

输出：

MotorOpenLoopTransferFun_K =

5.5910

MotorOpenLoopTransferFun_Z =

空的 0×1 double 列向量

MotorOpenLoopTransferFun_P =

1.0e+03 *

-1.9620
-0.0142

对输出结果分析一下，零点是空的列向量，就是没有零点，极点是-1.920 * 1.0e+03，就是-1.926乘以10的3次方，另一个极点-0.0142 * 1.0e+03，就是-0.0142乘以10的3次方。而增益是5.5910是我们最初设定的开环传递函数分子的值，是系统的直流（DC）增益。

1.2 求系统的参数和绘制波特图

[MotorOpenLoop_Gm MotorOpenLoop_PM MotorOpenLoop_Wcg MotorOpenLoop_Wcp] = margin(MotorOpenLoopTransferFun);
% 波特图
figure;
bode(MotorOpenLoopTransferFun);
title('电机的开环波特图');
grid on;

输出：

MotorOpenLoop_Gm =

Inf

MotorOpenLoop_PM =

98.0336

MotorOpenLoop_Wcg =

Inf

MotorOpenLoop_Wcp =

78.0478

在这里插入图片描述

二、增加PI控制器后系统开环传递函数

PI控制器的参数是我实际调试中确定的。 Kp = 0.5, Ki = 4.5。

%电机开环PI控制器
C_Motor = pid(0.5,4.5,0)
%电机和PI控制器串联的开环传递函数
MotorOpen_C_LoopTransferFun = MotorOpenLoopTransferFun*C_Motor%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 求加上PI控制器的系统参数 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
MotorOpen_C_LoopTransferFun_P = pole(MotorOpen_C_LoopTransferFun)
%增益
MotorOpen_C_LoopTransferFun_K = dcgain(MotorOpen_C_LoopTransferFun)
%零点
MotorOpen_C_LoopTransferFun_Z = zero(MotorOpen_C_LoopTransferFun)
%极点
MotorOpen_C_LoopTransferFun_P = pole(MotorOpen_C_LoopTransferFun)
[z,p,k] = zpkdata(MotorOpen_C_LoopTransferFun,'v')[MotorOpenLoopPID_Gm MotorOpenLoopPID_PM MotorOpenLoopPID_Wcg MotorOpenLoopPID_Wcp] = margin(MotorOpen_C_LoopTransferFun);
% 波特图
figure;
bode(MotorOpen_C_LoopTransferFun);
title('加上PID的电机开环波特图');
grid on;

输出：

C_Motor = Kp + Ki * 1 / s

且 Kp = 0.5, Ki = 4.5
并联型的连续时间 PI 控制器。

MotorOpen_C_LoopTransferFun =
 7.788e04 s + 7.01e05   ---------------------------   s^3 + 1976 s^2 + 2.786e04 s  连续时间传递函数。
MotorOpen_C_LoopTransferFun_P =

1.0e+03 *
     0    -1.9620    -0.0142
MotorOpen_C_LoopTransferFun_K =

Inf

MotorOpen_C_LoopTransferFun_Z =
-9
MotorOpen_C_LoopTransferFun_P =

1.0e+03 *
     0    -1.9620    -0.0142
z =
-9
p =

1.0e+03 *
     0    -1.9620    -0.0142
k =

7.7884e+04

MotorOpenLoopPID_Gm =

Inf

MotorOpenLoopPID_PM =

96.0149

MotorOpenLoopPID_Wcg =

Inf

MotorOpenLoopPID_Wcp =

38.2215

上面的zpkdata()函数实际上也求出了传递函数的零极点和增益。

在这里插入图片描述

低频段的斜率上升了，截止频率是38.2，相位裕度是96°，系统很稳定。加PID之前截止频率是78°，明显右移了，系统响应速度加快了。

三、电机系统闭环传递函数

MotorCloseLoopTransferFun = feedback(MotorOpen_C_LoopTransferFun, 1)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 求电机闭环参数 begin %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%[MotorCloseLoop_Gm MotorCloseLoop_PM MotorCloseLoop_Wcg MotorCloseLoop_Wcp] = margin(MotorCloseLoopTransferFun)% %增益
MotorCloseLoop_K = dcgain(MotorCloseLoopTransferFun)% 波特图
figure;
bode(MotorCloseLoopTransferFun);
title('电机闭环波特图');
grid on;

输出：

MotorCloseLoopTransferFun =
      7.788e04 s + 7.01e05   -------------------------------------   s^3 + 1976 s^2 + 1.057e05 s + 7.01e05  连续时间传递函数。 
MotorCloseLoop_Gm =

Inf

MotorCloseLoop_PM =

-180

MotorCloseLoop_Wcg =

Inf

MotorCloseLoop_Wcp =
0

MotorCloseLoop_K =
1

在这里插入图片描述
由波特图可知，相位裕度PM应该是180°，而不是输出的-180°，这是matlab的计算误差导致的。如果是-180°，那么系统就不稳定了！而且闭环增益等于1。

闭环增益等于1表示：

稳态时，系统的输出能无误差地跟踪输入（对于阶跃输入或直流信号）。
输入信号经过闭环系统后，幅值既不放大也不衰减，保持原样。
典型场景：单位负反馈系统（如跟随器、伺服系统等）。

下面是阶跃响应前后的区别。

在这里插入图片描述

四、simulink仿真

在simulink里面绘制如下的框图。
在这里插入图片描述

这里的参数是上面电机开环传递函数的分子、分母系数。大家对照看一下。

对于PID的参数，也是实际上的参数。跟上面matlab代码里的是一致的。

在这里插入图片描述
把上面代码的部分截图在这里，方便大家对照着看。

在这里插入图片描述

对于电机闭环传递函数，输入单位阶跃响应后，得到的波特图。

在这里插入图片描述

五、幅值裕度、相位裕度、相位穿越频率和截止频率（补充知识）

在控制系统的频域分析中，幅值裕度、相位裕度、相位穿越频率和截止频率是关键指标，用于衡量系统的稳定性和动态性能。以下是它们的详细解释：

5.1 幅值裕度（Gain Margin, GM）

定义：幅值裕度是指系统在相位达到−180°（相位穿越频率）时，开环幅频特性（|G(jω)|）距离0 dB的差值。
物理意义：表示系统在临界稳定（−180°相位）时允许增益增大的最大倍数。GM > 0 dB 时系统稳定，值越大稳定性越强。

5.2 相位裕度（Phase Margin, PM）

定义：相位裕度是指系统在幅值穿越频率（截止频率）处，相位角与−180°的差值。
物理意义：反映系统动态响应的稳健性。PM > 0° 时系统稳定，典型设计目标为 30°~60°，值越大 transient 响应超调越小。

5.3 相位穿越频率（Phase Crossover Frequency, Wcg）

定义：开环系统相位角达到−180°时的频率。
作用：用于计算幅值裕度。若在此频率处幅值增益≥0 dB，系统会振荡（临界稳定）。

5.4 截止频率（Gain Crossover Frequency, Wcp）

定义：开环系统幅值增益为0 dB（|G(jω)|=1）时的频率，也称幅值穿越频率。
作用：反映系统带宽，影响响应速度。截止频率越高，系统响应越快，但抗高频噪声能力可能下降。

5.5 matlab函数margin()

使用函数：

[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(sys)

返回值：
Gm是幅值裕度；Pm是相位裕度；Wcg是相位穿越频率；Wcp是截止频率。

在这里插入图片描述
结合上图更有助于理解上面的概念。

5.5.1 `inf`（Infinity，无穷大）

含义：表示一个数值超出了计算机浮点数能表示的范围（即“无穷大”）。
产生场景：
- 正无穷（+inf）：例如 1.0 / 0.0（除零）、exp(1000)（指数爆炸）。
- 负无穷（-inf）：例如 -1.0 / 0.0、log(0)（对数趋近负无穷）。
特点：
- 参与运算时可能保持无穷（如 inf + 1 = inf）。
- 比较操作中，inf 大于任何有限数（如 inf > 1e100 为 true）。

5.5.2 `NaN`（Not a Number，非数值）

含义：表示计算结果未定义或无效。
产生场景：
- 数学上无意义的运算：0.0 / 0.0、sqrt(-1.0)（对负数开平方）。
- 涉及 NaN 的运算：NaN + 1、sin(NaN)。
- 数据缺失或未初始化（某些编程语言中）。
特点：
- 具有“传染性”：任何与 NaN 的运算结果仍是 NaN。
- 比较操作中，NaN 不等于任何值（包括自身）：NaN == NaN 返回 false。