问题 6：在区域 {x2+y2+z2≤1}\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\}{x2+y2+z2≤1} 内找到一个调和函数 uuu，使得在边界 x2+y2+z2=1x^{2}+y^{2}+z^{2}=1x2+y2+z2=1 上，uuu 等于 g=z3g=z^{3}g=z3。
提示：根据第8.1节，解必须是一个三次调和多项式，并且它应该只依赖于 x2+y2+z2x^{2}+y^{2}+z^{2}x2+y2+z2 和 zzz（解释为什么）。唯一的方式是找到 u=z3+az(1−x2−y2−z2)u=z^{3}+a z(1-x^{2}-y^{2}-z^{2})u=z3+az(1−x2−y2−z2)，其中 aaa 是未知系数。
解决问题 6
需要找到调和函数 uuu 在单位球内满足 Δu=0\Delta u = 0Δu=0，且在边界上 u=z3u = z^3u=z3。
由于边界条件 g=z3g = z^3g=z3 是 zzz 的三次函数且具有轴对称性（只依赖于 zzz），因此解 uuu 也应该具有同样的对称性，即只依赖于 zzz 和 r2=x2+y2+z2r^2 = x^2 + y^2 + z^2r2=x2+y2+z2。这就是为什么解应该只依赖于 x2+y2+z2x^2 + y^2 + z^2x2+y2+z2 和 zzz。
根据提示，设 u=z3+az(1−r2)u = z^3 + a z (1 - r^2)u=z3+az(1−r2)，其中 r2=x2+y2+z2r^2 = x^2 + y^2 + z^2r2=x2+y2+z2。在边界 r2=1r^2 = 1r2=1 上，u=z3u = z^3u=z3，满足边界条件。现在需要选择 aaa 使得 Δu=0\Delta u = 0Δu=0.
计算 Δu\Delta uΔu：
- Δ(z3)=∂2∂x2(z3)+∂2∂y2(z3)+∂2∂z2(z3)=0+0+6z=6z\Delta (z^3) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(z^3) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}(z^3) + \frac{\partial^2}{\partial z^2}(z^3) = 0 + 0 + 6z = 6zΔ(z3)=∂x2∂2(z3)+∂y2∂2(z3)+∂z2∂2(z3)=0+0+6z=6z.
- 令 v=az(1−r2)=az−azr2v = a z (1 - r^2) = a z - a z r^2v=az(1−r2)=az−azr2，则 Δv=Δ(az)−Δ(azr2)\Delta v = \Delta(a z) - \Delta(a z r^2)Δv=Δ(az)−Δ(azr2).
- Δ(az)=aΔ(z)=0\Delta(a z) = a \Delta(z) = 0Δ(az)=aΔ(z)=0.
- 计算 Δ(azr2)\Delta(a z r^2)Δ(azr2):
zr2=z(x2+y2+z2)=zx2+zy2+z3z r^2 = z(x^2 + y^2 + z^2) = z x^2 + z y^2 + z^3zr2=z(x2+y2+z2)=zx2+zy2+z3.- Δ(zx2)=2z\Delta(z x^2) = 2zΔ(zx2)=2z（因为 ∂2∂x2(zx2)=2z\frac{\partial^2}{\partial x^2}(z x^2) = 2z∂x2∂2(zx2)=2z, 其他导数为零）。
- Δ(zy2)=2z\Delta(z y^2) = 2zΔ(zy2)=2z.
- Δ(z3)=6z\Delta(z^3) = 6zΔ(z3)=6z.
所以 Δ(zr2)=2z+2z+6z=10z\Delta(z r^2) = 2z + 2z + 6z = 10zΔ(zr2)=2z+2z+6z=10z，因此 Δ(azr2)=10az\Delta(a z r^2) = 10a zΔ(azr2)=10az.
- 于是 Δv=0−10az=−10az\Delta v = 0 - 10a z = -10a zΔv=0−10az=−10az.
因此，
Δu=Δ(z3)+Δv=6z−10az.
\Delta u = \Delta(z^3) + \Delta v = 6z - 10a z.
Δu=Δ(z3)+Δv=6z−10az.
设 Δu=0\Delta u = 0Δu=0：
6z−10az=0 ⟹ 6−10a=0 ⟹ a=35.
6z - 10a z = 0 \implies 6 - 10a = 0 \implies a = \frac{3}{5}.
6z−10az=0⟹6−10a=0⟹a=53.
所以调和函数为：
u=z3+35z(1−x2−y2−z2).
u = z^3 + \frac{3}{5} z (1 - x^2 - y^2 - z^2).
u=z3+53z(1−x2−y2−z2).
