Hilbert变换：从数学原理到物理意义的深度解析与仿真实验

Hilbert变换是信号处理领域中一项经典而强大的工具，广泛应用于瞬时频率分析、调制解调、相位提取等场景。本文将从数学原理出发，结合物理意义与实际应用，通过Python仿真实验直观展示其作用，并提供完整代码供读者复现。

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一、数学原理

Hilbert变换的核心是将一个实值信号 $x(t)$ 映射为与其正交的信号 $\hat{x}(t)$，其数学定义为：
x^(t)=H{x(t)}=1π∫−∞∞x(τ)t−τdτ\hat{x}(t) = \mathcal{H}\{x(t)\} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau x^(t)=H{x(t)}=π1​∫−∞∞​t−τx(τ)​dτ
该积分是Cauchy主值积分，在频域中可等效为对原信号的傅里叶变换乘以因子 $-j\cdot \text{sgn}(f)$（其中 $\text{sgn}(f)$ 是符号函数，$f$ 为频率），再通过逆傅里叶变换得到结果：
$$\hat{X}(f)=-j\cdot \text{sgn}(f)X(f)$$
通过将原信号与其Hilbert变换结果组合，可构造解析信号（Analytic Signal）：
$$z(t)=x(t)+j\hat{x}(t)$$
解析信号的频谱仅包含正频率分量（负频率分量被抑制），这一特性使其成为分析非平稳信号（如调制信号）的关键工具。

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二、作用与物理意义

1.构造解析信号

解析信号 $z(t)$ 的实部是原信号 $x(t)$，虚部是其Hilbert变换 $\hat{x}(t)$。通过解析信号，可以提取信号的瞬时幅度（Instantaneous Amplitude）和瞬时相位（Instantaneous Phase）：

• 瞬时幅度：$A(t)=|z(t)|$
• 瞬时相位：$\varphi (t)=\arg (z(t))$

2.相位移动特性

Hilbert变换的本质是对信号的所有频率成分进行90度相位移动：

• 正弦信号 $\sin (\omega t)$ 变换后为 $\cos (\omega t)$（相位超前90度）；
• 余弦信号 $\cos (\omega t)$ 变换后为 $-\sin (\omega t)$（相位滞后90度）。

3.应用场景

• 调制信号分析：提取调幅（AM）或调频（FM）信号的包络或瞬时频率；
• 单边带调制（SSB）：通过抑制负频率分量实现高效信号传输；
• 瞬时频率估计：在非平稳信号（如生物信号、机械振动）中，计算局部频率特性。

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三、仿真实验

实验1：正弦信号的Hilbert变换

目标：验证Hilbert变换的相位移动特性，并构造解析信号。

代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import hilbert# 参数设置
fs = 1000            # 采样率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)  # 时间范围[0,1)s
f = 5                # 正弦信号频率# 生成原始信号（正弦波）
x = np.sin(2 * np.pi * f * t)# 计算Hilbert变换（虚部为解析信号的正交分量）
z = hilbert(x)       # 解析信号
x_hat = np.imag(z)   # Hilbert变换结果# 绘制图形
plt.figure(figsize=(12, 8))# 原始信号与Hilbert变换结果
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t, x, label='$x(t) = \sin(2\pi ft)$')
plt.plot(t, x_hat, label='$\hat{x}(t) = \mathcal{H}\{x(t)\}$')
plt.title('原始信号与Hilbert变换结果')
plt.xlabel('时间 [s]')
plt.ylabel('幅值')
plt.legend()
plt.grid()# 解析信号的实部与虚部
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(t, np.real(z), label='实部（原信号）')
plt.plot(t, np.imag(z), label='虚部（正交信号）')
plt.title('解析信号的实部与虚部')
plt.xlabel('时间 [s]')
plt.ylabel('幅值')
plt.legend()
plt.grid()# 解析信号的幅度与相位
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(t, np.abs(z), label='瞬时幅度 $A(t)$')
plt.plot(t, np.unwrap(np.angle(z)), label='瞬时相位 $\phi(t)$')
plt.title('解析信号的幅度与相位')
plt.xlabel('时间 [s]')
plt.ylabel('幅值/弧度')
plt.legend()
plt.grid()plt.tight_layout()
plt.show()

结果分析：

• 原始正弦信号的Hilbert变换结果为余弦信号（相位超前90度）；
• 解析信号的幅度恒为1（正弦信号的包络），相位为 $2\pi ft$，符合理论预期。
• 其结果如下图：

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实验2：调幅信号的Hilbert变换

目标：分析调幅信号的瞬时幅度与相位，验证包络提取能力。

代码：

# 参数设置
f_carrier = 50       # 载波频率
f_mod = 5            # 调制频率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)# 生成调幅信号（AM）
x = (1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * f_mod * t)) * np.sin(2 * np.pi * f_carrier * t)# 计算Hilbert变换与解析信号
z = hilbert(x)
x_hat = np.imag(z)
A = np.abs(z)
phi = np.unwrap(np.angle(z))# 绘制图形
plt.figure(figsize=(12, 8))# 原始调幅信号与Hilbert变换结果
plt.subplot(3, 1, 1)
plt.plot(t, x, label='调幅信号')
plt.plot(t, x_hat, label='Hilbert变换结果')
plt.title('调幅信号与Hilbert变换结果')
plt.xlabel('时间 [s]')
plt.ylabel('幅值')
plt.legend()
plt.grid()# 解析信号的瞬时幅度（包络）
plt.subplot(3, 1, 2)
plt.plot(t, A, label='瞬时幅度（包络）')
plt.plot(t, (1 + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * f_mod * t)), label='理论包络', linestyle='--')
plt.title('调幅信号的瞬时幅度与理论包络对比')
plt.xlabel('时间 [s]')
plt.ylabel('幅值')
plt.legend()
plt.grid()# 瞬时相位与瞬时频率
instantaneous_frequency = np.diff(phi) / (2 * np.pi * (1/fs))  # 瞬时频率计算
plt.subplot(3, 1, 3)
plt.plot(t[1:], instantaneous_frequency, label='瞬时频率')
plt.plot(t, f_carrier + 0.5 * f_mod * np.cos(2 * np.pi * f_mod * t), label='理论瞬时频率', linestyle='--')
plt.title('调幅信号的瞬时频率与理论值对比')
plt.xlabel('时间 [s]')
plt.ylabel('频率 [Hz]')
plt.legend()
plt.grid()plt.tight_layout()
plt.show()

结果分析：

• Hilbert变换结果（虚部）为调幅信号的正交分量；
• 瞬时幅度 $A(t)$ 完整还原了调幅信号的包络（$1+0.5\sin (2\pi f_{m}t)$）；
• 瞬时频率接近理论值（载波频率 + 调制频率的影响），验证了Hilbert变换在非平稳信号分析中的有效性。
• 其结果如下图：

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四、结论

Hilbert变换通过构造解析信号，将实值信号扩展到复数域，从而实现了对信号瞬时属性的提取。其数学原理基于频域相位移动，物理意义是抑制负频率分量并保留正频率分量。通过仿真实验可见，Hilbert变换在正弦信号分析中表现为相位平移，在调幅信号中则能精准提取包络和瞬时频率，是信号处理中不可或缺的工具。

附注：以上代码使用 scipy.signal.hilbert 直接计算解析信号，其内部通过快速傅里叶变换（FFT）实现，避免了直接计算Cauchy主值积分的复杂性。

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