一、加上软阈值函数（Soft-thresholding）是因为 LISTA（以及它的前身 ISTA）本质上是在求解一个 带 L1 正则化的稀疏优化问题：

$$\underset{x}{\min }\frac{1}{2}\Vert y-Ax{\Vert }_2^2+\lambda \Vert x{\Vert }_1$$

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1. 从数学角度看

• $\lambda \Vert x{\Vert }_1$ 是稀疏约束项（L1 范数）

• L1 正则化的解不是普通的线性解，而是一个 非线性收缩映射

• 在凸优化里，L1 正则化的**近端算子（Proximal Operator）**就是软阈值函数：

  $$S_{\theta }(z)=\mathrm{sign}(z)\cdot \max (|z|-\theta ,0)$$

• 这一步负责把小于阈值的系数“压成 0”，让解更稀疏。

如果没有软阈值：

• 迭代就变成纯线性运算
• 得到的 $x$ 不会强制稀疏化
• 无法实现稀疏编码的本质目的

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2. 从信号处理角度看

• 软阈值 = 非线性去噪
  对高频的小系数（噪声）直接归零，对大系数（有用信号）略微收缩
• 在稀疏表示里，这个非线性就是用来剔除无关成分
• 类似小波去噪、压缩感知恢复里的软阈值

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3. 在 LISTA 中的作用

• LISTA 将 ISTA 的每一步迭代展开成一层网络

• 每层的更新：

  $$x^{(k+1)}=S_{{\theta }_k}\left(W^{(k)}y+G^{(k)}{x}^{(k)}\right)$$

  • 线性部分 $W^{(k)}$, $G^{(k)}$：负责拟合梯度下降的方向
  • 软阈值 $S_{{\theta }_k}$：负责稀疏化

• ${\theta }_k$ 也可以是可学习的参数，这样每一层都能自动学到最优稀疏化强度

✅ 总结

• ISTA 里软阈值是固定的数学推导结果
• LISTA 里软阈值仍然必须存在（否则就不是稀疏编码），但阈值大小可以学习，甚至可以每层不同
• 它是唯一能把“线性迭代”变成“稀疏解”的关键非线性

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二、不一定，是否加其他激活函数取决于你问题的目标和约束类型。

1️⃣ 为什么在 L1 正则化 问题中必须有软阈值

• L1 正则化（稀疏约束） 对应的稀疏先验是 拉普拉斯分布。
• 在 ISTA / LISTA 的迭代更新中，软阈值（Soft Thresholding, shrinkage）就是 L1 正则项的解析近似解（proximal operator）。
• 如果去掉软阈值，迭代就不再收缩系数，也就无法得到稀疏解。
• 因此，有 L1 正则化 ⇒ 必须要有 soft-threshold 激活。

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2️⃣ 如果 没有 L1 正则化

那就要看你的目标函数形式：

约束类型 / 先验	对应激活函数（prox算子）
L1 范数稀疏约束	软阈值 soft-threshold
L0 范数稀疏约束	硬阈值 hard-threshold
非负约束	ReLU（max(0,·)）
L2 范数正则化	缩放（不需要非线性激活）
有界区间约束	Clip（裁剪到区间）
组稀疏 (group L1/L2)	group soft-threshold
核范数正则化（低秩）	奇异值软阈值 (SVT)

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3️⃣ 为什么不加激活函数可能出问题

如果完全没有非线性（激活函数），LISTA 就退化成了 纯线性迭代：

$$x^{(k+1)}=W_{1}y+W_2{x}^{(k)}$$

这样：

• 无法施加先验约束（如稀疏、非负）
• 网络就只能拟合到最小二乘解（类似普通反卷积），欠约束时会过拟合
• 在欠定系统下甚至没有稳定解

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4️⃣ 总结逻辑

• 有 L1 正则化 → 必须软阈值（或变种）
• 无 L1 但有其他约束 → 激活函数要换成对应约束的 prox 算子
• 无任何约束 → 可以不加激活，但这时 LISTA 本质上就不是“稀疏重构”了，而只是个可学习的线性迭代器

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如果你愿意，我可以画一个 “ISTA/LISTA激活函数选择决策图”，让不同正则化 → 对应的激活函数一目了然。
这样你以后设计可学习迭代网络时可以直接查表用。

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