数模的完备性一直是国赛中评审的重点，也是大家赛中最容易失分的点。具体来讲，2023年C题国一使用了ARIMA,很多省三论文也是ARIMA。二者之所以出现这种巨大的等级差异不是因为模型问题，而是后者模型并不完备，缺少很多模型必要元素。

针对国赛数学模型的完备性 创新性录制了四个视频作为课程模型篇的序言课，希望能够对大家赛中有所帮助。

在数学建模中，模型假设是连接实际问题与数学模型的桥梁。恰当的假设能够简化问题、突出核心矛盾，使模型既具备可操作性，又尽量贴近现实。通常模型假设可分为以下几类：

1. 前提假设（基本设定类）

前提假设用于明确研究问题的基本框架，是模型建立的起点。

研究对象：界定问题所针对的主体，例如某个市场、某类人群或某一物理系统。

研究范围：限定分析的空间与时间范围，避免无限扩展。

环境稳定性：假设外部环境在研究期间保持基本不变，为模型提供稳定背景。

2. 简化假设（理想化处理类）

现实问题往往复杂难解，必须通过合理的简化来保证模型的可解性。

忽略次要因素：将对结果影响较小的因素排除在外。

理想化处理：对复杂过程进行抽象，例如假设市场完全竞争、忽略摩擦力等。

3. 参数假设（数值设定类）

很多情况下，部分参数或常数难以直接获得，需要人为设定。

参数取值方式：通过经验数据、文献参考或合理推断确定数值。

常数设定：对研究中需要固定的量（如利率、温度）进行假定。

4. 变量关系假设（结构性假设）

模型的核心在于变量之间的关系，而关系本身也需要假设支撑。

线性/非线性关系：变量间是否存在线性相关性。

因果作用：明确哪些变量是自变量，哪些是因变量。

交互效应：假设变量之间是否存在联动或耦合效应。

5. 动态/静态假设（时间性假设）

时间维度的处理方式决定了模型的适用场景。

静态假设：研究对象在某一时刻或较短周期内的特征，不考虑时间演化。

动态假设：考虑系统随时间变化的过程，刻画长期趋势或演化规律。

6. 确定性/随机性假设

对输入与结果的确定性进行说明。

确定性模型：所有输入参数与系统结果固定不变，重复实验条件下结果一致。

随机性模型：引入随机变量，假设其服从特定概率分布，更贴近现实中的不确定性。

7. 边界条件与环境假设

边界与环境是系统运行的重要前提。

边界固定：如管道流体不泄漏、区域范围不变。

环境恒定：假设温度、市场条件或政策环境保持稳定。

系统开放/封闭：说明模型是否考虑外部输入或输出。

数据预处理

在数学建模与数据分析过程中，数据预处理是保证模型有效性和可靠性的关键步骤。原始数据往往存在噪声、缺失和不一致性，如果不加以处理，会严重影响模型的稳定性与结果的可信度。常见的数据预处理工作包括以下几个方面：

1. 数据清洗

数据清洗旨在提高数据的质量和完整性，使其能够更好地支持后续建模。

缺失值处理：对缺失数据进行合理填补，例如删除缺失比例过大的样本，或采用均值、插值、回归等方法进行估算。

异常值处理：识别并剔除不合理的极端值，或通过箱型图、Z-Score 等方法进行判断，必要时可用合理值替代。

重复值检查：检查并删除重复记录，避免样本权重被无意放大。

2. 数据变换与标准化

为了保证模型的稳定性和变量间的可比性，需要对数据进行数值变换。

归一化：将不同量纲的数据缩放到统一区间（如 [0,1]），适用于神经网络等对数值范围敏感的模型。

标准化：将变量转换为均值为 0、方差为 1 的分布，消除不同变量尺度差异的影响。

对数/幂变换：在数据分布偏态或存在较大波动时，对变量进行对数或幂次变换，使其更符合正态分布假设。

平滑处理（较少使用）：通过移动平均、加权平均等方式，削弱数据中的随机波动。

3. 特征构建与选择

合理的特征工程能显著提升模型的解释力与预测性能。

变量选择：筛选与目标变量高度相关的特征，剔除冗余或无关变量，以减少维度灾难。

分类变量编码：将定性变量转换为数值型变量，例如独热编码（One-hot Encoding）或序数编码（Ordinal Encoding），以便模型能够识别与利用。

4. 数据可视化与探索性分析

在正式建模前，应通过数据可视化与探索性分析（Exploratory Data Analysis, EDA）对数据分布、变量关系进行初步理解。

使用直方图、散点图、箱线图等方法，直观展示变量的分布特征与相互关系。

结合相关系数或热力图，分析变量之间的线性或非线性相关性。

模型建立与求解

模型建立与求解是数学建模论文的核心环节，其任务是将问题的实际情境转化为数学结构，并通过合理的求解方法获得可解释的结果。完整的过程包括变量与参数的定义、数学形式的表达、模型的求解以及结果的呈现。

1. 变量与参数定义

在模型构建之前，必须对问题中的各类量进行严格定义。

符号说明表：统一说明自变量、因变量、参数和常数的符号含义及单位，保证模型的可读性与规范性。

明确角色区分：区分可控变量、状态变量与外部干扰量，为后续方程构建提供清晰框架。

2. 数学表达形式

不同类型的问题需要采用不同的数学工具加以描述。常见形式包括：

代数方程与不等式：用于表示线性或非线性规划问题，如资源分配、路径优化等。

微分方程与差分方程：适用于动态系统或时间演化过程，能够刻画系统状态随时间的变化规律。

概率统计模型：如回归模型、马尔可夫链等，能够刻画不确定性过程，包括概率分布设定和转移矩阵构建。

机器学习与仿真模型：如神经网络、支持向量机、Agent-based 模拟等，通常以假设函数与损失函数为核心，强调预测能力与复杂系统仿真。

结果分析

1. 合理性检验

首先，需要检验模型解是否符合基本的现实常识与逻辑。例如，预测的人口规模应为正数且随时间变化趋势合理，规划模型的资源分配结果不能超过总供给。通过与直觉和常理的对照，可以初步判断模型结果是否可信。

2. 数据验证

数据验证是衡量模型有效性的重要手段。具体做法是将模型结果与实验数据或历史数据进行对比，检验其精度与适用性。如果模型预测与真实数据高度吻合，则说明其可靠性较高；若差异较大，则需要反思假设合理性或模型结构是否需要调整。

3. 敏感性分析

为了进一步检验模型的稳健性，需要研究不同参数取值对结果的影响。通过对关键参数进行扰动并观察结果变化，可以揭示模型对输入的敏感程度。例如，若轻微的参数变化导致结果剧烈波动，说明模型存在不稳定性；反之，结果变化平缓则表明模型具有较好的稳健性。

4. 鲁棒性检验（可选）

在部分研究中，还需考察模型在不同环境或场景下的适用性，即鲁棒性。例如，预测模型在不同数据集、不同初始条件下是否仍能保持较高的精度。这一分析虽在常规赛题中使用较少，但若能体现，将显著增强模型的学术价值与推广价值。