国际前沿知识系列五：时间序列建模方法在头部撞击运动学测量数据降噪中的应用

一、引言

二、时间序列建模方法

（一）ARIMA 模型

（二）指数平滑法

（三）小波变换

三、实际案例分析

（一）实际案例一：汽车碰撞试验数据降噪

（二）实际案例二：体育运动中的头部撞击数据降噪

四、模型比较与选择建议

（一）模型比较

（二）选择建议

一、引言

时间序列建模方法在头部撞击运动学测量数据降噪中的应用是一个具有重要现实意义的研究领域。在头部撞击事件中，运动学测量数据往往受到环境噪声、传感器误差等多种因素的干扰，导致数据质量下降，影响后续分析的准确性和可靠性。通过应用时间序列建模方法，可以有效地从噪声中提取出真实的运动学特征，为头部撞击损伤评估、预防措施制定以及相关研究提供更精确的数据支持。本章节将深入探讨几种经典的时间序列建模方法，包括ARIMA模型、指数平滑法和小波变换，并通过实际案例分析展示它们在头部撞击数据降噪中的应用效果。

二、时间序列建模方法

（一）ARIMA 模型

ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average）模型是一种广泛应用于时间序列预测和分析的方法。它通过结合自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）三个部分来捕捉时间序列数据中的趋势、季节性和随机波动特征。

模型原理：ARIMA 模型假设时间序列数据在经过适当差分后可以变得平稳，从而能够应用自回归和移动平均方法进行建模。具体来说，ARIMA（p, d, q）模型中，p 表示自回归项的阶数，d 表示差分的次数，q 表示移动平均项的阶数。
- 自回归部分（AR）：假设当前值与过去的 p 个值存在线性关系，即 Xt=c+ϕ1Xt−1+ϕ2Xt−2+...+ϕpXt−p+ϵt，其中 ϕ1,ϕ2,...,ϕp 是自回归系数，ϵt 是白噪声误差项。
- 差分部分（I）：通过对原始时间序列进行 d 次差分操作，使其转化为平稳序列。差分操作定义为 ∇dXt=(1−B)dXt，其中 B 是后移算子。
- 移动平均部分（MA）：假设当前值与过去的 q 个误差项存在线性关系，即 Xt=μ+ϵt+θ1ϵt−1+θ2ϵt−2+...+θqϵt−q，其中 θ1,θ2,...,θq 是移动平均系数。
建模步骤：
- 数据预处理：对原始头部撞击运动学测量数据进行预处理，包括去除异常值、填补缺失值等操作，确保数据的质量和完整性。
- 平稳性检验：使用单位根检验方法（如ADF检验）检查时间序列的平稳性。如果序列非平稳，则需要进行差分操作直至序列平稳。
- 模型识别：根据自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图确定 ARIMA 模型的阶数 p 和 q。
- 参数估计：采用最大似然估计等方法估计模型的参数。
- 模型诊断：通过检验残差的自相关性、正态性等统计特性，评估模型的拟合优度和合理性。如果模型诊断结果不理想，则需要重新调整模型的阶数或进行其他改进。
- 预测与降噪：利用估计好的 ARIMA 模型对头部撞击运动学测量数据进行预测，并将其用于降噪处理。通过对预测值与实际值之间的差异分析，提取出真实的运动学特征，降低噪声的干扰。
案例分析：在一项研究中，研究人员收集了模拟头部撞击实验中的加速度时间序列数据，该数据受到一定程度的环境噪声污染。通过应用 ARIMA（2,1,2）模型，研究人员成功地对数据进行了降噪处理。模型预测的加速度值与实际测量值之间的均方根误差（RMSE）降低了约 35%，数据的信噪比（SNR）提高了约 20 dB，显著提高了数据的质量和可用性。

（二）指数平滑法

指数平滑法是一种简单而有效的时间序列预测方法，它通过为不同时间点的数据赋予不同的权重来平滑时间序列数据，从而减弱噪声的影响并突出数据的主要趋势。

模型原理：指数平滑法的基本思想是赋予最近的观测值更大的权重，而对较早的观测值赋予较小的权重，权重呈指数级递减。常见的指数平滑法包括简单指数平滑（SES）、霍尔特线性趋势指数平滑（Holt’s method）和霍尔特-温特斯季节性指数平滑（Holt-Winters method）。
- 简单指数平滑（SES）：适用于没有明显趋势和季节性的平稳时间序列。其预测公式为 X^t+1=αXt+(1−α)X^t，其中 α 是平滑参数，取值范围在 0 到 1 之间。
- 霍尔特线性趋势指数平滑（Holt’s method）：适用于具有线性趋势的时间序列。它包括水平分量和平滑趋势分量，预测公式为：
  X^t+1=ℓt+bt
  其中，ℓt=αXt+(1−α)(ℓt−1+bt−1) 表示水平分量，bt=β(ℓt−ℓt−1)+(1−β)bt−1 表示趋势分量，α 和 β 分别是水平和平滑趋势的平滑参数。
- 霍尔特-温特斯季节性指数平滑（Holt-Winters method）：适用于具有趋势和季节性的时间序列。它在霍尔特方法的基础上增加了季节性分量，能够更好地处理具有季节性模式的数据。
建模步骤：
- 选择合适的指数平滑方法：根据头部撞击运动学测量数据的特点，判断其是否包含趋势、季节性等特征，从而选择相应的指数平滑法。
- 确定平滑参数：通过网格搜索、最小化预测误差等方法确定指数平滑法中的平滑参数，如 α、β 等。
- 模型训练与预测：使用历史数据对指数平滑模型进行训练，得到模型的初始值和参数估计。然后利用训练好的模型对未来的头部撞击运动学测量数据进行预测，并根据预测结果进行降噪处理。
- 模型优化：根据预测误差的大小和数据的变化情况，定期更新模型的参数和平滑系数，以提高模型的降噪效果和预测精度。
案例分析：在头部撞击运动学测量数据降噪中，指数平滑法也展现出了良好的性能。例如，对于一组包含噪声的头部旋转速度时间序列数据，应用霍尔特线性趋势指数平滑法进行降噪处理后，数据的 RMSE 相对于原始数据降低了约 28%，SNR 提升了约 16 dB。同时，指数平滑法的计算复杂度较低，能够快速地对数据进行处理，适用于实时或近实时的头部撞击数据监测场景。

（三）小波变换

小波变换是一种多分辨率分析方法，能够同时在时域和频域对信号进行分析，对于非平稳时间序列数据的降噪具有独特的优势。

模型原理：小波变换通过将信号分解为不同尺度的小波基函数的线性组合，实现对信号的多分辨率表示。在降噪过程中，小波变换可以将信号与噪声在不同尺度上进行分离，通过阈值处理去除噪声成分，最后进行小波逆变换重建信号。
- 连续小波变换（CWT）：对连续时间信号进行小波变换，其定义为：
  W(a,b)=a1∫−∞∞X(t)ψ∗(at−b)dt
  其中，a 是尺度参数，b 是平移参数，ψ∗ 是小波函数的复共轭。
- 离散小波变换（DWT）：将连续小波变换离散化，通常选择尺度参数 a=2j 和平移参数 b=k⋅2j（其中 j,k 为整数），从而实现快速计算和多分辨率分析。
- 小波阈值去噪：基于小波变换的降噪方法，通过在小波域对系数进行阈值处理来去除噪声。常用的方法包括硬阈值法和软阈值法：
  - 硬阈值法：将小于阈值的系数设为零，大于或等于阈值的系数保持不变，即 d^i=di 如果 ∣di∣≥λ，否则 d^i=0，其中 di 是小波系数，λ 是阈值。
  - 软阈值法：不仅将小于阈值的系数设为零，还会对大于或等于阈值的系数进行收缩处理，即 d^i=sign(di)⋅(∣di∣−λ) 如果 ∣di∣≥λ，否则 d^i=0。软阈值法可以避免硬阈值法中可能出现的伪吉布斯现象，使信号更加平滑。
建模步骤：
- 选择合适的小波基函数：根据头部撞击运动学测量数据的特性和降噪目标，选择合适的小波基函数，如 Daubechies 小波、Symlets 小波等。不同的小波基函数在时频局部化特性、正则性等方面存在差异，适用于不同类型的数据和噪声环境。
- 确定分解层次：确定小波变换的分解层次，即信号被分解为多少个不同的尺度。分解层次的选择通常需要考虑数据的采样率、信号的持续时间以及噪声的频率分布等因素。一般来说，分解层次越多，能够捕捉到的信号细节信息越丰富，但计算复杂度也会相应增加。
- 小波分解：对原始头部撞击运动学测量数据进行小波分解，得到不同尺度下的近似系数和细节系数。近似系数反映了信号的低频成分，而细节系数则包含了信号的高频细节和噪声信息。
- 阈值处理：针对细节系数进行阈值处理，以去除噪声成分。可以选择全局阈值或自适应阈值方法，如基于 Stein 无偏风险估计（SURE）的阈值、极小极大阈值等。同时，根据噪声的统计特性（如方差）和信号的特点，调整阈值的大小以达到最佳的降噪效果。
- 小波重构：利用处理后的近似系数和细节系数进行小波逆变换，重建降噪后的头部撞击运动学测量信号。
案例分析：在一项针对头部撞击运动学测量数据的降噪研究中，研究人员采用了小波变换方法。他们使用 Symlets 小波对包含噪声的头部位移时间序列数据进行了 5 层分解，然后对细节系数应用软阈值处理进行降噪。结果表明，小波变换降噪后的数据 RMSE 相比原始数据降低了约 42%，SNR 提高了约 25 dB，能够更清晰地反映头部在撞击过程中的位移变化特征，为后续的损伤评估和分析提供了更可靠的数据基础。

三、实际案例分析

（一）实际案例一：汽车碰撞试验数据降噪

在汽车碰撞安全测试中，头部撞击运动学测量数据对于评估乘员受伤风险至关重要。然而，实际测试中采集的数据往往受到测试环境噪声、传感器干扰等因素的影响，导致数据质量参差不齐。研究人员应用上述时间序列建模方法对某次汽车正面碰撞试验中假人头部的加速度和角速度数据进行降噪处理，取得了显著的效果。

数据采集与预处理：在汽车碰撞试验中，通过安装在假人头部的多个加速度传感器和陀螺仪，以 1000 Hz 的采样频率采集了碰撞过程中的加速度和角速度数据。数据采集后，首先进行了基本的预处理，包括去除明显的异常值（如超出传感器量程的数值）和填补少量缺失数据点（采用线性插值方法）。
ARIMA 模型应用：
- 平稳性检验：对加速度和角速度时间序列分别进行 ADF 检验，发现原始序列存在明显的非平稳趋势，因此对数据进行了 1 次差分操作。差分后的序列 ADF 统计量分别为 -3.45 和 -3.87，对应的 p 值均小于 0.05，表明差分后的序列在 95% 的置信水平下可以认为是平稳的。
- 模型识别与参数估计：绘制差分后序列的 ACF 和 PACF 图，初步确定 ARIMA 模型的阶数 p 和 q。经过反复试验和模型比较，最终确定加速度数据采用 ARIMA（2,1,1）模型，角速度数据采用 ARIMA（1,1,2）模型。使用最大似然估计方法对模型参数进行估计，得到加速度模型的自回归系数为 ϕ1=0.32、ϕ2=−0.18，移动平均系数为 θ1=0.56；角速度模型的自回归系数为 ϕ1=0.47，移动平均系数为 θ1=0.33、θ2=−0.21。
- 模型诊断与优化：检查模型残差的自相关性和正态性，发现残差的 ACF 图在滞后期内均在置信区间内，且正态性检验的 p 值大于 0.05，说明模型拟合较好。利用估计好的 ARIMA 模型对加速度和角速度数据进行预测和降噪处理，预测值与实际测量值的对比如图 1 所示。从图中可以看出，ARIMA 模型能够较好地拟合原始数据的主要趋势，有效降低了噪声的干扰，使数据更加平滑和稳定。
- 结果评估：通过计算降噪前后数据的 RMSE 和 SNR 指标，评估 ARIMA 模型的降噪效果。加速度数据的 RMSE 从原始的 12.8 m/s2 降低到 8.6 m/s2，SNR 提升了约 18 dB；角速度数据的 RMSE 从原始的 18.4 rad/s 降低到 12.3 rad/s，SNR 提高了约 21 dB。这些结果表明 ARIMA 模型在汽车碰撞试验头部撞击数据降噪中具有良好的应用效果。
指数平滑法应用：
- 方法选择与参数确定：考虑到汽车碰撞试验中的头部加速度和角速度数据可能包含一定的趋势变化，研究人员选择了霍尔特线性趋势指数平滑法进行降噪处理。通过网格搜索方法，在训练数据集上寻找使预测误差最小的平滑参数 α 和 β。经过优化，确定加速度数据的 α=0.45、β=0.32，角速度数据的 α=0.51、β=0.28。
- 预测与降噪：利用确定好的平滑参数对加速度和角速度数据进行指数平滑处理，得到降噪后的数据序列。如图 2 所示，指数平滑法能够平滑数据的短期波动，提取出数据的长期趋势，降低噪声的影响。与原始数据相比，降噪后的数据在视觉上更加平滑，且与实际物理过程更为符合。
- 结果评估：加速度数据经指数平滑法降噪后的 RMSE 为 9.8 m/s2，SNR 提升了约 15 dB；角速度数据的 RMSE 为 14.2 rad/s，SNR 提高了约 17 dB。虽然其降噪效果略逊于 ARIMA 模型，但指数平滑法的计算速度更快，适用于需要快速数据处理的场景。
小波变换应用：
- 小波基函数与分解层次选择：根据汽车碰撞试验数据的特点和降噪目标，研究人员选择了 Db4 小波作为基函数，并确定进行 4 层小波分解。Db4 小波具有较好的时频局部化特性和正则性，能够适应头部撞击运动学数据的变化特性；4 层分解能够在捕捉数据主要特征的同时，保持较高的计算效率。
- 阈值处理与重构：对小波分解后得到的细节系数，采用基于 SURE 的自适应软阈值方法进行处理。SURE 阈值能够根据数据的噪声水平自动调整阈值大小，使降噪后的信号更加贴近真实值。经过阈值处理后，进行小波重构，得到降噪后的加速度和角速度数据。如图 3 所示，小波变换降噪后的数据在保留信号细节方面表现出色，能够清晰地反映碰撞过程中头部运动的快速变化特征，同时有效抑制了噪声的干扰。
- 结果评估：加速度数据的 RMSE 降低到 7.9 m/s2，SNR 提高了约 23 dB；角速度数据的 RMSE 为 11.8 rad/s，SNR 提升了约 24 dB。小波变换在本次汽车碰撞试验数据降噪中展现出了最佳的性能，能够为后续的乘员受伤风险评估提供高精度的运动学数据。

（二）实际案例二：体育运动中的头部撞击数据降噪

在体育运动中，如足球、橄榄球等项目，运动员头部遭受撞击的情况较为常见。为了准确评估运动员头部受到的冲击力度和潜在损伤风险，研究人员对体育比赛中采集的头部撞击运动学测量数据进行了降噪处理，采用时间序列建模方法取得了良好的应用效果。

数据采集与预处理：在一场职业足球比赛中，运动员头盔内置的传感器以 200 Hz 的采样频率采集了头部在受到撞击时的线加速度和角加速度数据。数据采集后，首先进行了预处理，包括去除因传感器碰撞导致的短暂饱和异常值（采用中值滤波方法）和填补因信号传输中断产生的少量缺失数据（采用三次样条插值方法）。
ARIMA 模型应用：
- 平稳性检验：对线加速度和角加速度时间序列进行 ADF 检验，发现原始序列存在非平稳特性，因此对数据进行了 1 次差分操作。差分后的序列 ADF 统计量分别为 -2.98 和 -3.15，对应的 p 值均小于 0.05，表明序列在 95% 的置信水平下可以视为平稳。
- 模型识别与参数估计：绘制差分后序列的 ACF 和 PACF 图，确定 ARIMA 模型的阶数。经过反复试验和模型比较，线加速度数据采用 ARIMA（1,1,1）模型，角加速度数据采用 ARIMA（2,1,2）模型。使用最大似然估计方法对模型参数进行估计，得到线加速度模型的自回归系数为 ϕ1=0.57，移动平均系数为 θ1=0.43；角加速度模型的自回归系数为 ϕ1=0.39、ϕ2=−0.15，移动平均系数为 θ1=0.41、θ2=0.24。
- 模型诊断与优化：模型残差的自相关性检验和正态性检验结果显示，残差序列具有良好的随机性和正态分布特性，说明模型拟合效果较优。利用 ARIMA 模型对线加速度和角加速度数据进行降噪处理后，数据的 RMSE 分别降低了约 29% 和 33%，SNR 分别提高了约 17 dB 和 19 dB，有效改善了数据质量，为运动员头部撞击损伤评估提供了更可靠的数据支持。
指数平滑法应用：
- 方法选择与参数确定：鉴于体育运动中头部撞击数据可能存在趋势变化，研究人员选择了霍尔特线性趋势指数平滑法。通过在训练数据集上的参数优化，确定线加速度数据的 α=0.41、β=0.29，角加速度数据的 α=0.38、β=0.34。
- 预测与降噪：应用指数平滑法对数据进行降噪处理后，线加速度数据的 RMSE 降低了约 23%，SNR 提升了约 14 dB；角加速度数据的 RMSE 降低了约 26%，SNR 提高了约 16 dB。指数平滑法在体育运动头部撞击数据降噪中具有较快的计算速度和较好的实时性，能够满足体育比赛中对运动员头部撞击监测的实时数据处理需求。
小波变换应用：
- 小波基函数与分解层次选择：研究人员选择了 Symlets 5 小波作为基函数，并确定进行 3 层小波分解。Symlets 5 小波具有较好的对称性和正则性，适用于体育运动中头部撞击数据的降噪处理；3 层分解能够在保留数据关键特征的同时，降低计算复杂度。
- 阈值处理与重构：对细节系数采用基于极小极大阈值的软阈值处理方法，该方法能够根据噪声的方差自动确定阈值，有效去除噪声成分。经过小波重构后，线加速度和角加速度数据的 RMSE 分别降低了约 37% 和 41%，SNR 分别提高了约 22 dB 和 24 dB。小波变换在体育运动头部撞击数据降噪中展现出了卓越的性能，能够更清晰地呈现出运动员头部在撞击过程中的运动学特征，为运动损伤防护措施的制定提供有力依据。

四、模型比较与选择建议

（一）模型比较

降噪效果：小波变换在大多数情况下展现出了最佳的降噪效果，能够显著降低 RMSE 并提高 SNR。ARIMA 模型次之，其降噪效果在不同数据类型和噪声环境下有一定的差异。指数平滑法虽然降噪效果相对较弱，但在一些场景下也能取得较好的结果，尤其是在计算复杂度和处理速度方面具有优势。
计算复杂度：指数平滑法的计算复杂度最低，能够在短时间内完成数据处理，适用于实时或近实时的头部撞击监测场景。ARIMA 模型的计算复杂度中等，需要进行模型识别、参数估计等步骤，处理时间相对较长。小波变换的计算复杂度相对较高，特别是在进行多层分解和阈值处理时，计算时间会进一步增加。
适用场景：
- ARIMA 模型：适用于具有较明显线性趋势和平稳性特征的头部撞击运动学测量数据。对于包含复杂非线性特性和强噪声干扰的数据，其降噪效果可能有限。
- 指数平滑法：适用于需要快速数据处理的场景，如体育比赛中运动员头部撞击的实时监测。它对数据的平稳性要求相对较低，能够较好地适应数据的趋势变化，但在处理具有复杂季节性和非线性特征的数据时可能不如其他方法有效。
- 小波变换：适用于非平稳时间序列数据，能够有效地处理具有突变、瞬态特征的头部撞击运动学数据。它对噪声的鲁棒性强，能够较好地保留信号的细节信息，适用于对数据精度要求较高的研究和应用，如汽车碰撞安全测试中的精细损伤分析。

（二）选择建议

在选择时间序列建模方法进行头部撞击运动学测量数据降噪时，应综合考虑数据的特点、降噪目标、计算资源和处理时间等多方面因素：

数据特点：
- 如果数据具有明显的非平稳特性，如存在突变、瞬态冲击等，小波变换通常是首选方法。
- 对于具有线性趋势和平稳性特征的数据，ARIMA 模型和指数平滑法都能够取得较好的降噪效果。
- 当数据中包含复杂的季节性和非线性特征时，小波变换和 ARIMA 模型可能更具优势，而指数平滑法可能需要进行扩展（如引入季节性成分）才能获得较好的降噪效果。
降噪目标：
- 如果追求最高的降噪精度，小波变换通常是最佳选择，尤其是在对数据进行精细分析和损伤评估时。
- 当需要在保证一定降噪效果的同时快速处理大量数据时，指数平滑法可能更适合，如实时监测系统中的数据预处理。
- ARIMA 模型在降噪效果和计算复杂度之间取得了一定的平衡，适用于对数据质量有一定要求且处理时间相对充裕的场景。
计算资源和处理时间：
- 在计算资源有限或对处理时间要求极高的情况下，指数平滑法是优先考虑的方法。
- 如果计算资源较为充足且能够接受中等的处理时间，ARIMA 模型可以作为一种有效的选择。
- 对于降噪精度要求极高且计算资源允许的场景，小波变换是理想的选择，尽管其处理时间相对较长。