原码、反码、补码与位运算

一、原码、反码、补码

1、原码

• 定义：原码是一种简单的机器数表示法。对于一个有符号整数，最高位为符号位， 0 表示正数， 1 表示负数，其余位表示数值的绝对值。
• 示例：以 8 位二进制为例， +5 的原码是 00000101 ， -5 的原码是 10000101 。
• 问题：原码在进行加减法运算时比较复杂，因为要根据符号位判断是加法还是减法，并且对于 0 有两种表示形式（ +0 ： 00000000 ， -0 ： 10000000 ），这给计算机处理带来不便。

2、反码

• 定义：正数的反码与原码相同；负数的反码是在原码的基础上，符号位不变，其余各位取反。
• 示例：还是以 8 位二进制为例， +5 的反码是 00000101 ， -5 的原码是 10000101 ，其反码则为 11111010 。
• 作用：反码主要是作为从原码到补码的过渡。虽然它解决了 0 的表示不唯一问题（ +0 和 -0 的反码都是 00000000 ），但在加减法运算上仍不够理想。

3、补码

• 定义：正数的补码与原码相同；负数的补码是在反码的基础上，末位加 1 。

• 示例：同样 8 位二进制， +5 的补码是 00000101 ， -5 的反码是 11111010 ，其补码则为 11111011 。

• 优势：补码在计算机中得到广泛应用，它解决了原码和反码在运算上的不足。在补码系统中， 0 只有一种表示形式（ 00000000 ）。而且使用补码进行加减法运算时，不需要额外判断符号位，可以直接将符号位和数值位一起参与运算，简化了运算规则，提高了运算效率。例如，计算 5 + (-3) ， 5 的补码是 00000101 ， -3 的补码是 11111101 ，两者相加：

  00000101

• 11111101

---

100000010

由于是 8 位二进制，最高位的 1 溢出被舍弃，结果为 00000010 ，即 2 ，运算结果正确。

• 原码是最直观的有符号数表示方法，但运算复杂且 0 的表示不唯一。
• 反码是从原码到补码的过渡，一定程度上解决了 0 的表示问题，但运算仍不够简便。
• 补码克服了原码和反码的缺点，成为计算机中表示有符号整数的标准方式，极大地简化了运算逻辑，提高了计算机处理有符号整数运算的效率。

二、位运算

1. 位与（ & ）

• 运算规则：对两个整数的二进制表示中每一位进行比较，只有当两个对应位都为 1 时，结果位才为 1 ，否则为 0 。
• 示例代码：

 
#include <iostream>int main() {int num1 = 10; // 二进制: 1010int num2 = 6;  // 二进制: 0110int result = num1 & num2;std::cout << num1 << " & " << num2 << " = " << result << std::endl;// 计算过程://  1010// & 0110// ------//  0010  结果为2return 0;
}

• 应用场景：
• 掩码操作：通过与一个特定的掩码值进行位与操作，可以提取或保留某些位。例如，要获取一个字节（8位）的低4位，可以与掩码 0x0F （二进制 00001111 ）进行位与操作。
• 判断奇偶性：与 1 进行位与操作，如果结果为 1 ，则该数为奇数；如果结果为 0 ，则为偶数。因为奇数的二进制最低位是 1 ，偶数的二进制最低位是 0 。

2. 位或（ | ）

• 运算规则：对两个整数的二进制表示中每一位进行比较，只要两个对应位中有一个为 1 ，结果位就为 1 ，只有当两个对应位都为 0 时，结果位才为 0 。
• 示例代码：

#include <iostream>int main() {int num1 = 10; // 二进制: 1010int num2 = 6;  // 二进制: 0110int result = num1 | num2;std::cout << num1 << " | " << num2 << " = " << result << std::endl;// 计算过程://  1010// | 0110// ------//  1110  结果为14return 0;
}

应用场景：

• 设置标志位：如果要将一个整数的某些位设置为 1 ，可以与一个相应位为 1 的掩码进行位或操作。例如，要将一个整数的第3位和第5位设置为 1 ，可以与掩码 0x28 （二进制 00101000 ）进行位或操作。
• 合并数据：在处理一些标志集合时，可以通过位或操作将不同的标志合并到一个整数中。

3. 异或（ ^ ）

• 运算规则：对两个整数的二进制表示中每一位进行比较，当两个对应位不同时，结果位为 1 ，当两个对应位相同时，结果位为 0 。
• 示例代码：

#include <iostream>int main() {int num1 = 10; // 二进制: 1010int num2 = 6;  // 二进制: 0110int result = num1 ^ num2;std::cout << num1 << " ^ " << num2 << " = " << result << std::endl;// 计算过程://  1010// ^ 0110// ------//  1100  结果为12return 0;
}

应用场景：

• 数据加密与解密：简单的异或加密算法中，通过将数据与一个密钥进行异或操作来加密数据，解密时再次与相同的密钥异或即可还原数据。
• 交换两个数：不使用临时变量交换两个整数的值。例如：

#include <iostream>int main() {int a = 5;int b = 7;a = a ^ b;b = a ^ b;a = a ^ b;std::cout << "a = " << a << ", b = " << b << std::endl;return 0;
}

• 利用了异或操作的特性， a ^ b ^ b 等于 a ， a ^ b ^ a 等于 b ，从而实现了两个数的交换。

4. 按位取反（ ~ ）

• 运算规则：对一个整数的二进制表示中的每一位进行取反操作，即将 0 变为 1 ， 1 变为 0 。
• 示例代码：

#include <iostream>int main() {int num = 5; // 二进制: 0000 0101int result = ~num;std::cout << "~" << num << " = " << result << std::endl; // 计算过程:// 原: 0000 0101// 取反: 1111 1010 // 在有符号整数中，这是 -6 的补码表示return 0;
}

应用场景：

• 创建掩码：通过对特定值进行按位取反可以生成用于位操作的掩码。例如，要创建一个除了第 3 位为 0 其余位都为 1 的掩码，可以对 1 << 3 （即 0000 1000 ）进行按位取反，得到 1111 0111 。
• 在特定算法中反转位模式：某些加密算法或数据处理算法中可能需要对数据的位模式进行反转。

5. 左移（ << ）

• 运算规则：将一个整数的二进制表示向左移动指定的位数，右边空出的位用 0 填充。每左移一位，相当于该数乘以 2 （在不溢出的情况下）。
• 示例代码：

#include <iostream>int main() {int num = 5; // 二进制: 0000 0101int result = num << 2;std::cout << num << " << 2 = " << result << std::endl; // 计算过程:// 原: 0000 0101// 左移2位: 0001 0100  结果为20return 0;
}

应用场景：

• 快速乘法：当需要将一个数乘以 2 的幂次方时，使用左移操作比乘法操作更高效。例如， a * 8 可以写成 a << 3 ，因为 8 = 2^3 。
• 设置标志位：通过左移操作可以将 1 移动到特定位置来设置标志位。例如， 1 << 5 得到 0010 0000 ，可用于设置第 5 位的标志。

6. 右移（ >> ）

• 运算规则：将一个整数的二进制表示向右移动指定的位数。对于无符号整数，左边空出的位用 0 填充；对于有符号整数，如果原数为正数，左边空出的位用 0 填充，如果原数为负数，左边空出的位用符号位（即最高位）填充，这称为算术右移。每右移一位，相当于该数除以 2 （向下取整）。
• 示例代码（无符号整数）：

#include <iostream>int main() {unsigned int num = 20; // 二进制: 0001 0100unsigned int result = num >> 2;std::cout << num << " >> 2 = " << result << std::endl; // 计算过程:// 原: 0001 0100// 右移2位: 0000 0101  结果为5return 0;
}

• 示例代码（有符号整数）：

#include <iostream>int main() {int num = -20; // 二进制补码: 1110 1100int result = num >> 2;std::cout << num << " >> 2 = " << result << std::endl; // 计算过程:// 原: 1110 1100// 右移2位: 1111 1011  结果为 -5return 0;
}

应用场景：

• 快速除法：当需要将一个数除以 2 的幂次方时，使用右移操作比除法操作更高效。例如， a / 4 可以写成 a >> 2 ，因为 4 = 2^2 。
• 提取特定部分：可以通过右移操作将需要的位移动到最低位，然后通过与操作提取。例如，要获取一个整数二进制表示的低 4 位，可以先右移 n 位（ n 为需要丢弃的高位数），然后与 0x0F 进行与操作。