P1379 八数码难题

八数码难题首先要进行有解性判定，避免无解情况下盲目搜索浪费时间。

有解性判定

P10454 奇数码问题

题意简述

在一个 $n\times n$ 的网格中进行，其中 $n$ 为奇数，$1$ 个空格和 $[1,n^2-1]$ 这 $n^2-1$ 个数不重不漏地分布在网格中。空格可与上下左右的数字交换位置。现给定两个奇数码游戏的局面，判定是否存在一种移动空格的方式使得互相可达。

实际上，八数码问题就是一个 $n=3$ 的奇数码游戏。

思路

将网格图转为长为 $n^2-1$ 的一维序列，例如：

5 2 8
1 3 _
4 6 7

可记为 $5,2,8,1,3,4,6,7$ ，忽略空格。可以发现：若左右移动空格，该序列不变；若上下移动空格，例如：

5 2 _
1 3 8
4 6 7

序列变为 $5,2,1,3,8,4,6,7$ ，相当于把 $8$ 往前移动了 $n-1=2$ 位，有两个数字到了 $8$ 的后面，那么这两个数字中，原来与 $8$ 形成逆序对的变成了非逆序对，原来与 $8$ 形成非逆序对的变成了逆序对。

进一步思考：

1.若在位置发生变动的数中原有奇数个逆序对，由于 $n-1$ 是偶数，那么原来也有奇数个非逆序对，因此交换后逆序对的个数仍为奇数；

2.若在位置发生变动的数中原有偶数个逆序对，由于 $n-1$ 是偶数，那么原来也有偶数个非逆序对，因此交换后逆序对的个数仍为偶数。

综上所述，无论怎么交换，逆序对个数的奇偶性不变，因此可以比较初状态和末状态的逆序对（用树状数组统计）奇偶性是否相同，方可判定是否有解。

代码实现

注意 $0$ 不参与统计，忘了这一点会 WA。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int n;int lowbit(int p){return p & (-p);}void insert(int p,int x,vector <int>& c){for(;p <= n;p += lowbit(p))c[p] += x;
} int query(int p,vector <int>& c){int sum = 0;for(;p;p -= lowbit(p)) sum += c[p];return sum;
}int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);while(cin >> n){n = n * n; vector <int> c(n + 1,0);int x,ans1,ans2,cnt1,cnt2;cnt1 = cnt2 = ans1 = ans2 = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){cin >> x;if(!x) continue;cnt1++;insert(x,1,c);ans1 += cnt1 - query(x,c);}for(int i = 0;i <= n;i++) c[i] = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){cin >> x;if(!x) continue;cnt2++; insert(x,1,c);ans2 += cnt2 - query(x,c);}	if(ans1 % 2){if(ans2 % 2) cout << "TAK" << endl;else cout << "NIE" << endl;}else{if(ans2 % 2) cout << "NIE" << endl;else cout << "TAK" << endl;}}return 0;
}

A-star

其实本题不需要可行性判定，但学一下也无妨。

设计估价函数 $h(state)$ 表示当前状态所有数字与其目标位置的曼哈顿距离和，即：
$$h(state)=\sum _{i=1}^8\left|x_i-x_{target}\right|+\left|y_i-y_{target}\right|$$
显然实际操作数 $g(state)\ge h(state)$ ，因为 $h$ 表示每个数字去目标点都走最短路，而实际至少得走这么远，$h$ 函数可采纳且较接近真实值（相比之下“错位数”，即不在目标位置的数字个数，这一估价函数虽可采纳但大多数时候远小于真实值，求解效率低），最终入队的总代价即为 $f=g+h$ 。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const string TARGET = "123804765";
const int dx[] = {0,0,-1,1};
const int dy[] = {-1,1,0,0};struct Node{string state;int g,h,f;Node(string s,int _g,int _h) :state(s),g(_g),h(_h),f(_g + _h) {}//重载运算符bool operator < (const Node& other) const {return f > other.f;} 
};//预处理target状态坐标
void initTargetPos(unordered_map <char,int>& pos_map){for(int i = 0;i < 9;i++){char c = TARGET[i];if(c != '0') pos_map[c] = i;}
} //函数求曼哈顿距离和 
int mahattan(const string& state,const unordered_map <char,int>& pos_map){int distance = 0;for(int i = 0;i < 9;i++){char c = state[i];if(c == '0') continue;int target_pos = pos_map.at(c);//当前数字坐标 int cur_x = i % 3;int cur_y = i / 3;//目标位置坐标 int tar_x = target_pos % 3;int tar_y = target_pos / 3;distance += abs(cur_x - tar_x) + abs(cur_y - tar_y);}return distance;
}int A_star(string start){if(start == TARGET) return 0;//预处理目标位置 unordered_map <char,int> pos_map;initTargetPos(pos_map);priority_queue <Node> open_list;unordered_map <string,int> min_cost;int start_h = mahattan(start,pos_map);open_list.push(Node(start,0,start_h));min_cost[start] = 0;while(!open_list.empty()){Node cur = open_list.top();open_list.pop();string state = cur.state;if(state == TARGET) return cur.g;//非最优路径则跳过if(min_cost[state] < cur.g) continue;//找出0的位置 int pos = state.find('0');int x = pos % 3;int y = pos / 3;for(int i = 0;i < 4;i++){int tx = x + dx[i];int ty = y + dy[i];//越界 if(tx < 0 || tx >= 3 || ty < 0 || ty >= 3) continue;//0的新坐标 int new_pos = tx + ty * 3;string new_state = state;swap(new_state[pos],new_state[new_pos]);int new_g = cur.g + 1;//未曾入队或有更优解 if(min_cost.find(new_state) == min_cost.end() || new_g < min_cost[new_state]){min_cost[new_state] = new_g;int new_h = mahattan(new_state,pos_map);open_list.push(Node(new_state,new_g,new_h));} }}
}int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);string start;cin >> start;cout << A_star(start) << endl;return 0;
}