B样条曲线：已知弧长 L 求参数 u 的方法

1. B样条曲线定义

B样条曲线由以下要素定义：

• 控制点：P₀, P₁, P₂, ..., Pₙ
• 节点向量（ Knot Vector ）：U = [u₀, u₁, ..., uₘ]
• 曲线次数：k（例如，三次 B样条 k = 3）
• 参数 u ∈ [uₖ, uₘ₋ₖ]（有效定义域）

曲线表达式为：

B(u) = Σᵢ₌₀ⁿ Nᵢ,ₖ(u) · Pᵢ

其中：

• Nᵢ,ₖ(u) 是第 i 个 k 次 B样条基函数（通过德布尔算法递归计算）
• B(u) 是参数 u 对应的曲线上的点

2. 曲线导数（切向量）

B'(u) = d/du [B(u)] = Σᵢ₌₀ⁿ N'ᵢ,ₖ(u) · Pᵢ

导数表示曲线在 u 处的切向量，其模长为：

‖B'(u)‖ = √[ (dx/du)² + (dy/du)² ] （二维情况）
或扩展到三维：√[ (dx/du)² + (dy/du)² + (dz/du)² ]

3. 弧长公式

从起点 u = uₖ 到参数 u 的弧长为：

s(u) = ∫ᵤₖᵘ ‖B'(ξ)‖ dξ

这个积分没有解析解，必须通过数值积分计算（如：梯形法、辛普森法、高斯积分等）。

4. 已知弧长 L，求参数 u

给定从起点到某点的弧长 L，求对应的参数 u，即求解：

s(u) = L

这是一个非线性方程求根问题，需使用数值方法。

5. 推荐求解方法

（1）牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson）

迭代公式：

uₙ₊₁ = uₙ − [s(uₙ) − L] / ‖B'(uₙ)‖

步骤：

1. 初始化 u₀（例如：u₀ = uₖ + (uₘ₋ₖ − uₖ) × (L / 总弧长)）
2. 计算 s(uₙ)：使用数值积分从 uₖ 到 uₙ 积分 ‖B'(ξ)‖
3. 计算 ‖B'(uₙ)‖
4. 更新 uₙ₊₁，直到 |s(uₙ) − L| < 容差（如 1e⁻⁶）

（2）预计算弧长查找表（推荐用于实时应用）

步骤：

1. 在参数区间 [uₖ, uₘ₋ₖ] 上均匀采样 N 个 u 值：u₀, u₁, ..., uₙ
2. 对每个 uᵢ，计算累积弧长 sᵢ = ∫ᵤₖᵘⁱ ‖B'(ξ)‖ dξ
3. 构建数据表：(uᵢ, sᵢ)
4. 给定 L，使用线性插值或样条插值查找对应的 u

例如线性插值：

若 sᵢ ≤ L ≤ sᵢ₊₁，则：

u ≈ uᵢ + (L − sᵢ) × (uᵢ₊₁ − uᵢ) / (sᵢ₊₁ − sᵢ)

6. 注意事项

• B样条曲线在不同区间具有不同的基函数，需注意 u 所在的节点区间
• 弧长积分必须在参数连续的区间内进行
• 若曲线有重复节点或退化，需特殊处理
• 对于闭合曲线，起点不一定是 u = uₖ，需根据参数化方式调整