求解给定的四个偏微分方程，采用降阶法，令 v = u x v = u_x v=ux，从而将原方程转化为关于 v v v 的一阶方程。
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方程 u x y = 0 u_{xy} = 0 uxy=0
令 v = u x v = u_x v=ux，则方程变为 v y = 0 v_y = 0 vy=0。解得 v = C 1 ( x ) v = C_1(x) v=C1(x)，即 u x = C 1 ( x ) u_x = C_1(x) ux=C1(x)。对 x x x 积分得到：
u ( x , y ) = ∫ C 1 ( x ) d x + C 2 ( y ) = f ( x ) + g ( y ) u(x, y) = \int C_1(x) \, dx + C_2(y) = f(x) + g(y) u(x,y)=∫C1(x)dx+C2(y)=f(x)+g(y)
其中 f f f 和 g g g 分别是关于 x x x 和 y y y 的任意可微函数。通解为：
u ( x , y ) = f
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