上一节：【高等数学】第十一章 曲线积分与曲面积分——第一节 对弧长的曲线积分
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1. 对坐标的曲线积分的概念与性质

• 变力沿曲线所作的功
  先用曲线 $L$ 上的点 $M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2),\dots ,M_n(x_n,y_n)$ 把 $L$ 分成 $n$ 个小弧段，
  取其中一个有向小弧段$\widehat{M_{i-1}{M}_i}$，由于$\widehat{M_{i-1}{M}_i}$光滑而且很短，可以用有向线段$$\overrightarrow{M_{i-1}{M}_i}=(\Delta x_i)\mathbf{i}+(\Delta y_i)\mathbf{j}$$来近似代替它，其中$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$。
  $\mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$
  由于函数 $P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$ 在 $L$ 连续，可以用 $\widehat{M_{i-1}{M}_i}$ 上任意取定的一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 处的力$$\mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)=P({\xi }_i,{\eta }_i)\mathbf{i}+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\mathbf{j}$$来近似代替这小弧段上各点处的力。
  变力 $\mathbf{F}(x,y)$ 沿有向小弧段 $\widehat{M_{i-1}{M}_i}$ 所作的功 $\Delta W_i$，可以认为近似地等于恒力 $\mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)$ 沿 $\widehat{M_{i-1}{M}_i}$ 所作的功：$$\Delta W_i\approx \mathbf{F}({\xi }_i,{\eta }_i)\cdot \overrightarrow{M_{i-1}{M}_i}=P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$$于是$$W=\sum _{i=1}^n\Delta W_i=\sum _{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i].$$用 $\lambda$ 表示 $n$ 个小弧段的最大长度，令 $\lambda \to 0$ 取上述和的极限，所得到的极限自然地被认作变力 $\mathbf{F}$ 沿有向曲线弧所作的功，即$$W=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n[P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i].$$
• 对坐标的曲线积分定义
  设 $L$ 为 $xOy$平面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑曲线弧，
  函数 $P(x,y)$ 与 $Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界。
  在 $L$ 上沿着 $L$ 的方向任意插入一列点 $M_1(x_1,y_1)$, $M_2(x_2,y_2)$, $\dots$, $M_{n-1}(x_n,y_{n-1})$, 把 $L$ 分成 $n$ 个有向弧段 $\widehat{M_{i-1}{M}_i}$ ($i=1,2,\dots ,n$；$M_0=A$, $M_{n+1}=B$）。
  设 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$, $\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$, ($i=1,2,\dots ,n$)，点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 为 $\widehat{M_{i-1}{M}_i}$ 上任意取定的点，
  作积 $P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$, ($i=1,2,\dots ,n$)，并作和 $\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i$，
  如果当各小段弧度的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，且与曲线弧 $L$ 的分点及点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 的取法无关，
  那么此极限称为函数 $P(x,y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上对坐标 $x$ 的曲线积分，记作${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$。
  类似地，如果 $\underset{\lambda x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$ 总存在，并且与曲线弧 $L$ 的分法及点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 的取法无关，
  那么此极限称为函数 $Q(x,y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上对坐标 $y$ 的曲线积分，记作${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$。即$$\begin{gathered} {\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i, \\ {\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i, \end{gathered}$$其中 $P(x,y),Q(x,y)$ 叫做被积函数，$L$ 叫做积分弧段。
  以上两个积分也称为第二类曲线积分。
• 存在性
  当$P(x,y)$与$Q(x,y)$在有向光滑曲线弧$L$上连续时，对坐标的曲线积分${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x$与${\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$都存在。
• 推广到三维
  积分弧段为空间有向曲线弧 $\Gamma$ $$\begin{gathered} {\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta x_i, \\ {\int }_{\Gamma }Q(x,y,z)\mathrm{d}y=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta y_i, \\ {\int }_{\Gamma }R(x,y,z)\mathrm{d}z=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta z_i, \end{gathered}$$
• 简化写法、
  • 二维
    应用上经常出现的是$${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y$$这种合并起来的形式，为简便起见，上式写成$${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y,$$也可写成向量形式$${\int }_L\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r},$$其中 $\mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$，$\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}$.
  • 三维
    把$${\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x+{\int }_{\Gamma }Q(x,y,z)\mathrm{d}y+{\int }_{\Gamma }R(x,y,z)\mathrm{d}z$$简写成$${\int }_{\Gamma }P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z,$$或$${\int }_{\Gamma }\mathbf{A}(x,y,z)\cdot \mathrm{d}\mathbf{\Gamma },$$其中 $\mathbf{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$, $\mathrm{d}\mathbf{\Gamma }=\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}+\mathrm{d}z\mathbf{k}$.
• 分段光滑
  如果$L$（或$\Gamma$）是分段光滑的，
  规定函数在有向曲线弧$L$（或$\Gamma$）对坐标的曲线积分等于在光滑的各段上对坐标的曲线积分之和。
• 性质
  • 线性性
    设 $\alpha$ 与 $\beta$ 为常数，则$${\int }_L\left[\alpha {\mathbf{F}}_1(x,y)+\beta {\mathbf{F}}_2(x,y)\right]\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\alpha {\int }_L{\mathbf{F}}_1(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}+\beta {\int }_L{\mathbf{F}}_2(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}.$$
  • 分段光滑
    若有向曲线弧 $L$ 可分成两段光滑的有向曲线弧 $L_1$ 和 $L_2$，则$${\int }_L\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}={\int }_{L_1}\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}+{\int }_{L_2}\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}.$$
  • 方向性
    设$L$是有向光滑曲线弧，$L^{-}$是$L$的反向曲线弧，则$${\int }_L\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=-{\int }_{L^{-}}\mathbf{F}(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$

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