以下是关于两阶段最小二乘法（2SLS）与工具变量（IV）模型关系的系统解析，结合计量经济学理论与论文上下文进行说明：

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一、核心关系：2SLS是IV模型的实现方法

1. IV模型：解决内生性的理论框架

• 目标：估计存在内生性问题的回归模型 $y_i=x_i^{\prime }\beta +u_i$（$\text{cov}(x_i,u_i)\ne 0$）。
• 工具变量要求：
  • 相关性：$\text{cov}(z_i,x_i)\ne 0$
  • 外生性：$\text{cov}(z_i,u_i)=0$
• 理论解：IV估计量 ${\hat{\beta }}_{IV}=(Z^{\prime }X{)}^{-1}{Z}^{\prime }y$（仅适用于 $d_z=d_{\beta }$ 的恰好识别场景）。

2. 2SLS：IV模型的普适性算法

• 作用：将IV估计推广到 $d_z>d_{\beta }$（过度识别）场景。
• 本质：通过两阶段回归数值等价于IV估计的广义形式：
  $${\hat{\beta }}_{2SLS}=[X^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }X{]}^{-1}{X}^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }y$$
• 关键结论：
  2SLS是IV模型的估计方法，当工具变量数=参数数（$d_z=d_{\beta }$）时，2SLS退化为标准IV估计。

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二、2SLS的两阶段本质

1. 第一阶段：净化内生变量

• 目标：分离 $x_i$ 中与工具变量 $z_i$ 相关的部分（外生成分）。
• 操作：
  $$\text{回归：}{x}_i=z_i^{\prime }\delta +v_i⟹{\hat{x}}_i=z_i^{\prime }\hat{\delta }$$
• 数学意义：${\hat{x}}_i$ 是 $x_i$ 在工具变量空间上的投影（$\hat{X}=Z(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }X$）。

2. 第二阶段：替代回归

• 目标：用“净化”后的 ${\hat{x}}_i$ 替代原始内生变量 $x_i$。
• 操作：
  $$\text{回归：}{y}_i={\hat{x}}_i^{\prime }\beta +{\epsilon }_i⟹{\hat{\beta }}_{2SLS}=({\hat{X}}^{\prime }\hat{X}{)}^{-1}{\hat{X}}^{\prime }y$$
• 直观理解：
  通过工具变量 $z_i$ 提取 $x_i$ 的外生变异，阻断内生性传递路径。

示例（教育回报率估计）：

• 第一阶段：用出生季度（$z_i$）预测受教育年限（$x_i$）
• 第二阶段：用预测的受教育年限（${\hat{x}}_i$）估计工资方程

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三、2SLS与IV模型的数学等价性

1. 恰好识别场景（$d_z=d_{\beta }$）

• 2SLS第二阶段：
  $${\hat{\beta }}_{2SLS}=({\hat{X}}^{\prime }\hat{X}{)}^{-1}{\hat{X}}^{\prime }y$$
• 代入 $\hat{X}=Z(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }X$：
  $${\hat{\beta }}_{2SLS}=[X^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }X{]}^{-1}{X}^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }y$$
• 标准IV估计量：
  $${\hat{\beta }}_{IV}=(Z^{\prime }X{)}^{-1}{Z}^{\prime }y\text{（当 }{d}_z=d_{\beta }\text{ 时等价）}$$

2. 过度识别场景（$d_z>d_{\beta }$）

• 2SLS优势：自动处理多余工具变量，仍可计算唯一解。
• IV模型扩展：需结合GMM框架最小化加权矩条件（如论文中的SGMM）。

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四、论文中的技术定位

1. 2SLS作为基准方法

• 对比角色：论文以离线2SLS为基准，凸显SGMM的在线计算优势（见表1-2）。
• 局限场景：
  • 2SLS无法直接处理流数据（需全样本存储）
  • 2SLS在过度识别时统计效率非最优（未使用GMM加权）

2. SGMM对2SLS的改进

维度	2SLS	SGMM（本文）
数据模式	批处理（离线）	流数据（在线）
计算复杂度	$O(n{d}_z^2)$（矩阵求逆）	$O(d_z^2)$ 每样本（增量更新）
过度识别	直接可用但非最优	动态优化权重矩阵 $W_i$
理论性质	一致但渐近方差非最小	渐近等价于最优GMM

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五、关键概念辨析

术语	定义	与2SLS的关系
工具变量（IV）	满足相关性、外生性的变量 $z_i$	2SLS的实现基础
IV模型	结构方程 $y_i=x_i^{\prime }\beta +u_i$ + 矩条件 $\mathbb{E}[u_i{z}_i]=0$	2SLS估计的对象
2SLS	通过两阶段回归求解IV模型的算法	IV模型的估计器
GMM	最小化加权矩条件 ${\min }_{\beta }{g}_n(\beta {)}^{\prime }{W}_n{g}_n(\beta )$	2SLS的推广（含最优加权）

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总结

• IV模型是解决内生性问题的理论框架，2SLS是其最常用的估计算法。
• 2SLS通过两阶段回归数值实现IV估计：第一阶段提取内生变量的外生成分，第二阶段进行无偏回归。
• 论文中，2SLS作为离线基准，而SGMM通过随机近似框架将其扩展至流数据场景，实现高效在线估计。

核心公式回顾：
2SLS估计量：
$${\hat{\beta }}_{2SLS}=\underset{\text{工具投影}}{\underbrace{[X^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }X{]}^{-1}}}\underset{\text{工具加权}}{\underbrace{X^{\prime }Z(Z^{\prime }Z{)}^{-1}{Z}^{\prime }y}}$$
红色部分：工具变量对解释变量的投影
蓝色部分：工具变量对因变量的加权