排列组合奇妙冒险：如何优雅地避开"数字CP"？

——容斥原理教你破解连续数对排列难题

📜 问题描述

题目：求$1,2,3,4,5,6,7,8$的排列个数，使得排列中不出现连续的$12,23,34,45,56,67,78$．

通俗版：把数字1到8排成一队，但禁止任何两个相邻数字"秀恩爱"（比如$1$和$2$不能手拉手出现，$2$和$3$也不行……）．问有多少种"单身狗友好型"排列？

---

💡 破题思路：逆向思维yyds！

第一反应：直接算"不连续"的排列数？头皮发麻！
灵光一闪：不如先算"有连续CP"的排列数，再用总排列数减去它！（容斥原理狂喜）

核心工具：

1. 捆绑法：把连续数对（如$12$）看作一个"超级数字"，减少排列对象．
2. 容斥原理：处理多个集合的交并时，"加加减减"避免重复计数．

---

🔍 关键推导：容斥魔法

Step 1：定义"违规集合"

设$A_i$为包含$i(i+1)$这一对连续数的所有排列（$i=1,2,\dots ,7$）．
例如：$A_1$包含所有出现$12$的排列，$A_2$包含所有出现$23$的排列……

Step 2：计算交集大小

关键结论：若同时有$k$个连续数对（比如$12$和$23$），相当于把$k+1$个数字"黏成"$8-k$个整体．
公式：$|A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \dots \cap A_{i_k}|=(8-k)!$．

💡 举例：同时满足$12$和$23$的排列，相当于把$1,2,3$捆成一个"大粽子"，剩下数字自由排列，共$(8-2)!=720$种．

Step 3：容斥原理展开

总"违规排列数"为所有$A_i$的并集大小，展开计算：
$$\begin{array}{rl}\left|\bigcup _{i=1}^7{A}_i\right|& =\sum _{k=1}^7(-1{)}^{k-1}\sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le 7}\left|A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \dots \cap A_{i_k}\right|\\ & =\sum _{k=1}^7(-1{)}^{k-1}\sum _{1\le i_1<i_2<\dots <i_k\le 7}(8-k)!\\ & =\sum _{k=1}^7(-1{)}^{k-1}\cdot C_7^k\cdot (8-k)\\ & =\sum _{k=1}^7(-1{)}^{k-1}\cdot (8-k)\cdot \frac{7!}{k!}\\ & =7\cdot 5040-6\cdot 2520+5\cdot 840-4\cdot 210+3\cdot 42-2\cdot 7+1\cdot 1\\ & =23633\end{array}$$

Step 4：求合法排列数

总排列数$8!=40320$，减去违规数：
$$\text{合法排列数}=40320-23633=16687．$$

---

🎯 总结：解题套路三连

1. 逆向思维：复杂限制→求补集．
2. 容斥原理：处理多条件交集，"奇加偶减"防漏算．
3. 捆绑法：连续数字视为整体，降维打击．

适用题型：禁止特定子串的排列、错位问题、概率中的互斥事件．

---

🍰 课后彩蛋

延伸问题：若额外禁止$21,32,\dots ,87$（即所有相邻差值为±1），答案是多少？

互动提问：如果数字$1$到$8$排成一个环，且禁止连续数对，又该怎么算？

评论区留下你的思路！