数组和特殊矩阵

数组

数组的定义

数组是由n(n>=1)个相同类型的数据元素构成的有限序列。每个数据元素称为一个数组元素，每个元素在n个线性关系中的序号称之为该元素的下标，下标的取值范围称为数组的维界。

数组是[[线性表]]的推广，一维数组可视为一个线性表，二维数组可视为其元素是定长数组的线性表。

数组的存储结构

各数组元素大小相同，且物理上连续存放。

我们用一个 Markdown 表格模拟数组的地址存储结构（ElemType a[7]）：

其他	a[0]	a[1]	a[2]	a[3]	a[4]	a[5]	a[6]	其他
	LOC	LOC+1	…	…	…	…	…	…

$$数组元素a[i]的存放地址=LOC+i\ast sizeof(ElemType)$$

每个单元格表示数组元素在内存中的连续存储位置，数组元素之间没有间隔，便于通过下标快速访问。

接下来假设有一个二维数组() ElemType b[2][4]，我们可以用一个 Markdown 表格模拟其地址存储结构和逻辑结构：

逻辑结构：

b[0][0]	b[0][1]	b[0][2]	b[0][3]
b[1][0]	b[1][1]	b[1][2]	b[1][3]

但是在内存中，数组是连续的，那么也就有了行优先和列优先的存储方式。

列优先存储结构：

其他	b[0][0]	b[1][0]	b[0][1]	b[1][1]	b[0][2]	b[1][2]	b[0][3]	b[1][3]	其他
…	LOC+0	LOC+1	LOC+2	LOC+3	LOC+4	LOC+5	LOC+6	LOC+7	…

M行N列的二维数组b[M][N]中，若按列优先存储，则：

$$b[i][j]的存放地址=LOC+(j\ast M+i)\ast sizeof(ElemType)$$

行优先存储结构：

其他	b[0][0]	b[0][1]	b[0][2]	b[0][3]	b[1][0]	b[1][1]	b[1][2]	b[1][3]	其他
…	LOC+0	LOC+1	LOC+2	LOC+3	LOC+4	LOC+5	LOC+6	LOC+7	…

M行N列的二维数组b[M][N]中，若按行优先存储，则：

$$b[i][j]的存放地址=LOC+(i\ast N+j)\ast sizeof(ElemType)$$

矩阵的存储和特殊矩阵的压缩存储

压缩存储是指为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配空间。
特殊矩阵就是指分布有一定规律的矩阵。
压缩存储方法：找出分布规律，把那些呈现规律性分布的、值相同的元素放在同一个存储空间中。

对称矩阵

$a_{1,1}$	$a_{1,2}$	$\cdots$	$a_{1,n}$
$a_{2,1}$	$a_{2,2}$	$\cdots$	$a_{2,n}$
$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$
$a_{n,1}$	$a_{n,2}$	$\cdots$	$a_{n,n}$

如上所示的矩阵是一个n阶矩阵，若对于任意的$i,j$，都有$a_{i,j}=a_{j,i}$，则称之为对称矩阵。其中的元素也可以根据i,j的大小分为三个部门:$i=j$主对角线，$i>j$ 下三角区，$i<j$ 上三角区。

普通存储：n*n二维数组，因为上下两个三角区数值相同，所以可以压缩存储。

压缩存储策略：只存储主对角线+下三角区（或主对角线+上三角区）

同时我们需要按照行/列优先的原则存入到一个一维数组中，并建立i,j（矩阵下标）与数组下标的映射关系。

以下以行优先为例：

对于i>=j的下标来说，第一个存储的是 i=1,j=1，第二个存储的是 i=2,j=1，接着 2,2、3,1、3,2、3,3。分别映射到了0,1,2,3上面。

根据不难看出，对于i是累加的，比如第一行起始是0，第二行起始是1，到了第三行起始就变为了3。那么其实他就是一个等差数列。

根据等差数列求和公式：$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，其中$a_1=0$，$a_n=i-1$，$n=i$。因此，第$i$行的起始下标为$\frac{i(i-1)}{2}$。接着我们加上j的偏移量，得到下标为$\frac{i(i-1)}{2}+j-1$。（j-1的原因是因为数组下标从0开始）

至此我们把矩阵中下三角的元素都存储了，正因为$a_{i,j}=a_{j,i}$，对于上三角的元素，我们直接替换下标即可。

得到最终的下标转换公式如下：

$$k=\{\begin{array}{ll}\frac{(i-1)i}{2}+j-1,& \text{当 }i\ge j\text{（下三角区和主对角线元素）}\\ \frac{(j-1)j}{2}+i-1,& \text{当 }i<j\text{（上三角区元素）}\end{array}$$

按照上面的方法，分析列优先：

对于i>=j的下标来说，第一个存储的是 i=1,j=1，第二个存储的是 i=1,j=2，接着 2,2、1,3、2,3、3,3。分别映射到了0,1,2,3上面。

根据等差数列求和公式：$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，其中$a_1=0$，$a_n=j-1$，$n=j$。因此，第$j$列的起始下标为$\frac{j(j-1)}{2}$。接着我们加上i的偏移量，得到下标为$\frac{j(j-1)}{2}+i-1$。（i-1的原因是因为数组下标从0开始）

至此，我们得到列优先的公式为：

$$k=\{\begin{array}{ll}\frac{j(j-1)}{2}+i-1,& \text{if }i\ge j\\ \frac{i(i-1)}{2}+j-1,& \text{if }i<j\end{array}$$

对于存储上三角的方法，我不想写了，留给我自己思考去吧

三角矩阵

$a_{1,1}$	$C$	$C$	$C$
$a_{2,1}$	$a_{2,2}$	$C$	$C$
$a_{3,1}$	$a_{3,2}$	$a_{3,3}$	$C$
$a_{4,1}$	$a_{4,2}$	$a_{4,3}$	$a_{4,4}$

下三角矩阵：除了主对角线和下三角区，其余的元素都相同（如表格所示）
上三角矩阵：除了主对角线和上三角区，其余的元素都相同（如表格所示）

压缩存储策略（下三角矩阵为例）：按行优先原则将下三角区存入一维数组中。并在最后一个位置存储常量C，上面分析的下三角区存储公式可以直接使用。而常数C的存储位置为$n(n+1)/2$

存储下三角矩阵的下标转换公式：

$$k=\{\begin{array}{ll}\frac{(i-1)i}{2}+j-1,& \text{if }i\ge j（下三角区和主对角线元素）\\ \frac{n(n+1)}{2},& \text{if }i<j（上三角区元素）\end{array}$$

下面开始分析上三角矩阵的存储，还是上面的策略，常数C的存储位置为$n(n+1)/2$。

那么对于第i行应当开始存储的位置应该为上i-1行的元素个数，应当为$n(i-1)-\frac{(i-1)(i-2)}{2}=\frac{(i-1)(2n-i+2)}{2}$，其中,$n(i-1)$代表该矩阵第i行之前一共的元素数目，之后的式子代表下三角区的累计数目，对于第j列，应为相对于对角线的偏移量即为(j-i)。

因此我们可以得到存储上三角矩阵的下标转换公式：

$$k=\{\begin{array}{ll}\frac{(i-1)(2n-i+2)}{2}+(j-i)& i\le j(上三角区和主对角线元素)\\ \frac{n(n+1)}{2}& i>j(下三角区元素)\end{array}$$

三对角矩阵

三对角矩阵，又称带状矩阵:当$|i-j|>1$时，元素值为0。$(1\le i,j\le n)$

$a_{1,1}$	$a_{1,2}$	0	0	0	0
$a_{2,1}$	$a_{2,2}$	$a_{2,3}$	0	0	0
0	$a_{3,2}$	$a_{3,3}$	$a_{3,4}$	0	0
0	0	$a_{4,3}$	$a_{4,4}$	$a_{4,5}$	0
0	0	0	$a_{5,4}$	$a_{5,5}$	$a_{5,6}$
0	0	0	0	$a_{6,5}$	$a_{6,6}$

压缩存储策略：按行优先（或列优先）原则，只存储带状部分

那么按行优先规则，前i-1行的元素个数为$3(i-1)-1$，第i行的元素个数为3，最后一行的元素个数为2。那么$a_{i,j}$是第i行的第j-i+2（如果下标从1开始，从零开始还要减1）个元素。所以我们得到如下的公式:

$$k=3(i-1)-1+j-i+2-1=2i+j-3$$

接下来我们需要讨论一下逆向，即通过k求i和j：

由一维数组下标 $k$ 求矩阵下标 $i,j$ 的方法如下：首先确定行号 $i$，由于前 $i-1$ 行共 $3(i-1)-1$ 个元素，前 $i$ 行共 $3i-1$ 个元素，因此有 $3(i-1)-1<k+1\le 3i-1$，即 $i\ge \frac{k+2}{3}$，向上取整得 $i=\lceil \frac{k+2}{3}\rceil$。
也可以按照王道书的逻辑，$3(i-1)-1\le k<3i-1$，即 $i\le \frac{k+1}{3}+1$，向下取整得 $i=\lfloor \frac{k+1}{3}\rfloor +1$。确定 $i$ 后，前 $i-1$ 行共 $3(i-1)-1$ 个元素，第 $i$ 行的第一个元素下标为 $k_0=3(i-1)-1$，所以列号 $j=k-k_0-2+i$。公式总结如下：

$$\begin{array}{rl}& i=\lceil \frac{k+2}{3}\rceil \\ & j=k-[3(i-1)-1]-2+i\end{array}$$

或者

$$\begin{array}{rl}& i=\lfloor \frac{k+1}{3}\rfloor +1\\ & j=k-[3(i-1)-1]-2+i\end{array}$$

先根据 $k$ 计算 $i$，再用 $i$ 计算 $j$，两种取整方式结果一致。

稀疏矩阵

稀疏矩阵：非零元素远远少于矩阵元素的个数

压缩存储策略：顺序存储——三元组<行，列，值>

例如，下面的稀疏矩阵：

0	0	4	0	0	5
0	3	0	9	0	0
0	0	0	0	7	0
0	2	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0

其三元组顺序存储形式为：（行、列标从0开始）

i行	j列	v值
0	2	4
0	5	5
1	1	3
1	3	9
2	4	7
3	1	2

行、列标从1开始

行	列	值
1	3	4
1	6	5
2	2	3
2	4	9
3	5	7
4	2	2

既然有顺序存储，那么会有链式存储的方式。压缩存储策略二：链式存储——十字链表法

一个结点包含五部分内容:行、列、值、指向下一个同列元素的指针、指向下一个同行元素的指针。

还是上面的矩阵，如果给他创建一个十字链表，那么就会得到如下结果（图源王道课PPT）：