【1】引言

前序学习进程中，已经对SVM的KKT条件，Slater条件等进行了探究，但这些都是完美情况，数据线性可分。
实际生活中需要处理的数据往往因为各式各样的原因会不可分，所以必须学会容忍一些小错误，完美的很难永恒存在。
为描述这种小错误的存在，软边界被定义出来。

【2】软边界定义

在早期的拉格朗日函数构造中，我们很熟悉函数距离F的定义公式：$$F=\underset{i=1,...,m}{\min }{y}_i(w\cdot x_i+b)$$
这个时候先把最小的函数间隔调整为1，就会有$F\ge 1$
此时最好换一种写法，把F改为g：$$g=y_i(w\cdot x_i+b)\ge 1$$
但因为有一些淘气的点存在，所以给上述公式配一个变量项${\xi }_i$，这个时候再把g改为h，有：
$$h=y_i(w\cdot x_i+b)\ge 1-{\xi }_i$$
之前我们已经推算过，几何距离和最优化几何距离是不断变化数学表达式的效果。

几何距离：$\delta =\frac{F}{||w||}$
最佳几何距离：通过同比率调整w和b，使得F=1，从而有${\delta }_{max}=\frac{1}{||w||}$，
在此基础上进而转化为距离函数$f$：$f=\min \frac{1}{2}||w|{|}^2$

现在匹配带有变量项$\xi$的情况，改写上述定义：
几何距离：${\delta }_{\xi }=\frac{h}{||w||}$
最佳几何距离：通过同比率调整w和b，使得F=1，变量项这个时候就出现了，从而有${\delta }_{max，{\xi }_i}=\frac{1-{\xi }_i}{||w||}$。
此时的距离函数$f$包括两部分，第一部分是单纯和$||w||$相关，另一部分的影响则来自在$||w||$确认时，${\xi }_i$的存在。为了避免麻烦，定义最优化几何距离为：
$$f=\min \frac{1}{2}||w|{|}^2+C\sum _{i=1}^n{\xi }_i$$
这就是SVM的软边界公式。
此处的新增项$C{\sum }_{i=1}^n{\xi }_i$是错误惩罚项。

定义一个常数C有很多好处：
首先实际上每个$\xi$的大小都不一样，如果定义$C_i{\xi }_i$会让公式变得异常复杂，所以C放在求和符号之前，可以简化公式；
然后C放在求和符号之前，实际上对变量项进行线性化处理，待求解问题的结构变得简单，在之后构造拉格朗日函数也会变得相对容易。
从更大的层面，我们也更希望从整体的角度控制模型对错误的容忍度，所以定义一个常数C可以实现快速调整，非常符合调参数的期待。

【3】总结

初步学习了支持向量机的软边界公式。