注：本文为 “线性代数 | 行图像 / 列图像” 相关合辑。
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如有内容异常，请看原文。

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MIT 线性代数笔记一 行图像和列图像

线性代数行图像与列图像解析

herosunly 已于 2022-01-25 15:34:26 修改

1. 学习背景回顾

若干年前，王清老师曾讲授线性代数课程。该课程授课音量较小，后排学生难以清晰聆听。根据模糊记忆，课程首讲内容为利用行列式求解方程组（即克莱姆法则），后续依次讲解矩阵的各类运算（包括加法、乘法、求逆与转置）、初等行变换，最终涉及特征值与特征向量的求解。整个学习过程以运算训练为主，却未阐明各类运算的本质意义。当时曾产生疑问：线性代数的核心是否仅为各类运算规则？但该疑问未得到进一步探究。

2. 当前学习规划

自 2018 年（大一时期）起，至今已过去十一年。2022 年新年的首要目标为系统学习李宏毅老师的《机器学习》。在学习“线性回归”章节时，为深化对理论知识的理解，需进行公式推导，此过程涉及矩阵求导公式的应用。为掌握该知识点，制定如下学习笔记。

3. 第一讲 行图像和列图像

3.1 线性方程组的矩阵表示

线性代数的核心问题之一是求解 $n$ 元一次方程组。以二元一次方程组为例，其表达式如下：
$$\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ -x+2y=3\end{array}$$
将上述方程组用矩阵形式表示，可得：
$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
其中，$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$ 称为系数矩阵，$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 称为未知数向量，等号右侧的向量记为 $\mathbf{b}$。由此，方程组可简化为矩阵方程：$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

3.2 行图像

行图像的几何意义与解析几何一致：在二维平面中，每个二元一次方程对应一条直线。绘制方程组中两个方程对应的直线，两条直线的交点坐标即为方程组的解。对于上述方程组，解得 $x=1$，$y=2$。

注：上图由 Wolfram Alpha 绘制生成：

• 2x-y = 0 and -x+2y=3 - Wolfram|Alpha
  https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x-y+%3D+0+and+-x%2B2y%3D3

3.3 列图像

3.3.1 列图像的核心思想

列图像分析的核心是将系数矩阵按列分解为若干列向量，此时求解原方程组等价于寻找列向量的线性组合，使其结果等于向量 $\mathbf{b}$。对于上述二元一次方程组，按列分解后可表示为：
$$x\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+y\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$

3.3.2 线性组合的定义

“向量的线性组合”是线性代数的核心概念之一，其运算包含两部分：

• 向量加法：需满足平行四边形法则或三角形法则；
• 向量数乘：对向量进行伸缩变换（系数大于 1 时向量伸展，系数大于 0 且小于 1 时向量收缩，系数小于 0 时向量反向并伸缩）。

特别地，若一组向量构成空间的“基向量”，则该空间内任意向量均可表示为这组基向量的线性组合。

3.3.3 列图像的几何意义

从几何角度看，列图像的求解目标是寻找系数 $x$ 和 $y$，使得 $x$ 与第一个列向量的数乘结果，与 $y$ 与第二个列向量的数乘结果相加后，恰好等于向量 $\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$。

3.3.4 列图像的优势（以三元方程组为例）

对于二元方程组，行图像与列图像的优势差异不明显；但对于多元方程组，列图像的优势将显著体现。以三元一次方程组为例：
$$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=6\\ 2x+5y+2z=4\\ 6x-3y+z=2\end{array}$$
对于矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$：

• 若改变向量 $\mathbf{b}$ 的数值，行图像中每个方程对应的平面均会发生变化，需重新分析平面间的位置关系；
• 列图像中，系数矩阵的列向量保持不变，仅需寻找新的线性组合系数即可，求解逻辑更简洁。

3.3.5 方程组有解的充要条件

1. 核心问题：对于任意向量 $\mathbf{b}$，矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是否均有解？（此处“任意”指所有可能的 $\mathbf{b}$）
2. 列图像视角的转化：该问题等价于“系数矩阵的列向量的线性组合是否覆盖整个线性空间？”（选择线性空间作为研究对象，是因为 $n$ 元一次方程组的解空间本质为线性空间）。
3. 无解情况的反例：若系数矩阵的列向量线性相关（例如，第三个列向量恰好等于第一个列向量减去第二个列向量），则所有列向量将共面（二维平面）；若向量 $\mathbf{b}$ 不在该平面内，则列向量的任意线性组合均无法得到 $\mathbf{b}$，此时方程组无解。
4. 奇异矩阵的定义：当列向量线性相关时，系数矩阵 $\mathbf{A}$ 称为奇异阵（或不可逆矩阵）。在奇异阵条件下，并非所有 $\mathbf{b}$ 都能使 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解。
5. 一般结论：对于 $n$ 维线性空间，若系数矩阵的 $n$ 个列向量满足线性无关（即任意一个列向量均不能表示为其他列向量的线性组合），则对于任意 $\mathbf{b}$，方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 均有解；若列向量线性相关，则其线性组合无法充满 $n$ 维空间，方程组未必有解。

3.3.6 行图像与列图像的维度对比

从行图像视角分析三元方程组的解：

• 有唯一解：三个平面相交于一点；
• 无解：至少两个平面平行，或任意两个平面的交线互相平行；
• 无穷多解：三个平面相交于一条直线。

但当空间维度升高（如 $n>3$）时，行图像无法直观绘制，交点位置更难以分析。而列图像通过“线性组合”的思想，将高维空间的解问题转化为向量组合问题，显著降低了分析复杂度。

3.4 总结

线性方程组可等价表示为矩阵方程 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$：

• 从“行视角”分析矩阵 $\mathbf{A}$，得到的是方程组中的每个独立方程，其几何意义为空间中的超平面；
• 从“列视角”分析矩阵 $\mathbf{A}$，得到的是系数矩阵的列向量，其核心是通过列向量的线性组合构造向量 $\mathbf{b}$。

矩阵作为融合两种视角且逻辑自洽的数学工具，是线性代数中的重要创举，为高维线性问题的分析提供了统一框架。

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MIT—线性代数笔记 行图像和列图像

三少爷的键 编辑于 2018-10-10 13:33

1 行图像与列图像的基本概念（Row Picture & Column Picture）

1.1 线性方程的几何表示（The Geometry of Linear Equations）

线性代数的核心问题之一是求解 $n$ 元一次线性方程组。以二元一次线性方程组为例，其标准形式如下：
$$\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ -x+2y=3\end{array}$$
将上述方程组表示为矩阵形式 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，可得：
$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
其中各矩阵/向量的定义如下：

• 系数矩阵（Coefficient Matrix）：$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$，用于存储方程组中未知数的系数；
• 未知数向量（Unknown Vector）：通常记为 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$，包含方程组中所有待求的未知量；
• 常数项向量（Constant Term Vector）：记为 $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$，包含方程组等号右侧的常数项。

2 行图像（Row Picture）

2.1 行图像的几何意义

行图像基于解析几何的思想，将线性方程组中的每个方程对应为几何空间中的一条直线（二元情形）或一个平面（三元情形）。对于二元一次方程，通过以下步骤可确定其对应的直线：

1. 求解方程的两组解（即满足方程的 $(x,y)$ 坐标对）；
2. 在 $x\text{-}y$ 平面上标记两组解对应的点；
3. 连接两点形成的直线，即为该方程的行图像。

2.2 行图像的求解原理

线性方程组的解对应于所有方程行图像的交点。对于本节中的二元方程组：

• 方程 $2x-y=0$ 的行图像为一条直线；
• 方程 $-x+2y=3$ 的行图像为另一条直线；
• 两条直线的交点坐标 $(x,y)=(1,2)$，即为方程组的解。

3 列图像（Column Picture）

3.1 列图像的核心思想

列图像的本质是将系数矩阵 $\mathbf{A}$ 按列分解为列向量，将方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 转化为列向量的线性组合问题。对于本节中的二元方程组，系数矩阵的列向量分解形式如下：
$$x\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+y\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
其中，$x$ 和 $y$ 是线性组合的系数（即方程组的未知数），目标是找到一组 $x,y$，使得列向量的线性组合结果等于常数项向量 $\mathbf{b}$。

3.2 线性组合的定义

对于给定的向量 $\mathbf{c}$、$\mathbf{d}$ 及标量 $x$、$y$，表达式 $x\mathbf{c}+y\mathbf{d}$ 称为向量 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{d}$ 的一个线性组合。线性组合是线性代数中的核心概念，贯穿整个课程体系。

3.3 列图像的几何意义与求解

从几何角度看，列图像的求解过程是：找到标量 $x$、$y$，使得列向量分别乘以 $x$、$y$ 后，通过“首尾相接”的向量加法得到 $\mathbf{b}$。对于本节的方程组：

• 蓝色向量为 $\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$，乘以 $x=1$ 后得到 $1\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$；
• 红色向量为 $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$，乘以 $y=2$ 后得到 $2\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right]$；
• 两向量相加：$\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]=\mathbf{b}$，因此解得 $x=1$，$y=2$。

3.4 列向量线性组合的空间覆盖

若任意选取标量 $x$、$y$，则列向量 $\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$ 的所有线性组合将布满整个 $x\text{-}y$ 平面。下图展示了该过程的几何直观：

注：在 D.C.Lay 所著的《线性代数及其应用》中，曾绘制向量 ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$ 与 ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ 的线性组合图像，其整数倍线性组合的端点在平面上形成网格，直观体现了线性组合对平面的覆盖。该书注重通过几何图像辅助理解线性代数概念，英文版已更新至第 5 版，中文版由华章出版社出版。

4 三元线性方程组的行图像与列图像

将上述二元情形的讨论扩展到三元情形，考虑如下三元一次线性方程组（选取 G. Strang 教材中的示例以匹配配图）：
$$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=6\\ 2x+5y+2z=4\\ 6x-3y+z=2\end{array}$$
其矩阵形式为：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 2\\ 6& -3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 4\\ 2\end{array}\right]$$

4.1 三元方程组的行图像

三元一次方程的行图像为三维空间中的一个平面，方程组的解对应于三个平面的交点：

• 若三个平面相交于唯一一点，则方程组有唯一解；
• 若三个平面无公共交点（如存在平行平面、两两交线平行），则方程组无解；
• 若三个平面相交于一条直线，则方程组有无穷多解。

下图展示了该三元方程组行图像的几何直观（三个平面的相交关系）：

注：G. Strang 在授课中曾提及自身作图局限性，其教材中通过“两平面交线与第三平面相交”的分步图示展示解的存在性；而 D.C.Lay 的教材则通过单张图更简洁地呈现了三维平面的相交关系。

4.2 三元方程组的列图像

将系数矩阵按列分解，三元方程组的列图像形式为列向量的线性组合：
$$x\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 6\end{array}\right]+y\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right]+z\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 4\\ 2\end{array}\right]$$
其几何意义为：寻找标量 $x,y,z$，使得三个列向量分别数乘后相加得到 $\mathbf{b}$。下图为该线性组合的几何示意图：

4.3 方程组解的存在性问题

对于三元方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，一个核心问题是：是否对所有的 $\mathbf{b}$，方程组均有解？

从列图像角度，该问题等价于：系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的列向量的线性组合是否能覆盖整个三维空间？

• 若三个列向量“线性无关”（即不存在一个列向量可由另外两个列向量线性表示），则其线性组合可覆盖整个三维空间，对任意 $\mathbf{b}$，方程组均有解；
• 若三个列向量“线性相关”（如列 3 = 列 1 + 列 2），则所有列向量共面，其线性组合仅能覆盖该平面。若 $\mathbf{b}$ 不在此平面内，方程组无解。此时矩阵 $\mathbf{A}$ 称为奇异矩阵（Singular Matrix） 或不可逆矩阵（Non-invertible Matrix）。

下图对比了 G. Strang 与 D.C.Lay 教材中对三元方程组行图像（平面相交关系）的作图差异：

5 矩阵与向量的乘法规则

矩阵与向量的乘法 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ 有两种等价的计算方式，分别对应列图像与行图像的思想。

5.1 基于列向量线性组合的计算（列图像视角）

将矩阵 $\mathbf{A}$ 按列分解为列向量，$\mathbf{A}\mathbf{x}$ 即为列向量的线性组合。以矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]$ 与向量 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ 为例：
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=1\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+2\cdot \left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2+10\\ 1+6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right]$$

5.2 基于行向量点积的计算（行图像视角）

将矩阵 $\mathbf{A}$ 的每一行视为行向量，$\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的每个分量为对应行向量与 $\mathbf{x}$ 的点积。仍以上述矩阵与向量为例：
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(2\cdot 1+5\cdot 2)\\ (1\cdot 1+3\cdot 2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2+10\\ 1+6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 7\end{array}\right]$$

两种计算方式的结果完全一致，分别从列图像（线性组合）与行图像（点积）的角度诠释了矩阵与向量乘法的本质。

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矩阵的几何意义：行图像与列图像的系统解析

孙梓轩 编辑于 2025-08-08 10:10・美国

1. 行空间的几何意义与方程组解的关联

线性方程组的行图像，本质是将方程组中每个方程对应为其所在维度空间中的“解空间”，方程组的解即为所有解空间的交集。以下从二维情形出发，逐步剖析行图像的几何特征与方程组可解性的关系。

1.1 二元一次方程组的行图像示例（有解情形）

以二元一次方程组为例：
$$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x+3y=7\end{array}$$
该方程组中，每个方程对应 2 维空间（${\mathbb{R}}^2$） 中的一条直线：

• 方程 $x+2y=5$ 的解空间是一条斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的直线；
• 方程 $2x+3y=7$ 的解空间是一条斜率为 $-\frac{2}{3}$ 的直线。

两条直线的交点即为方程组的解（$x=-1,y=3$）。从几何上看，只要不同方程对应的直线不平行，就存在唯一交点，方程组有唯一解。

需注意：直线在空间中沿其延伸方向无限延展，并非局限于有限坐标范围（如 $x\in [-10,10],y\in [-10,10]$），因此解的存在性仅由直线的相对位置决定，与坐标范围无关。

1.2 二元一次方程组的行图像示例（无解情形）

考虑无解的二元一次方程组：
$$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x+4y=7\end{array}$$
其对应的行图像为两条平行直线（斜率均为 $-\frac{1}{2}$），无任何交点，因此方程组无解。

从系数角度分析：两条直线平行的充要条件是“方程中未知数系数成比例，且常数项不成比例”。具体表现为系数矩阵的两行成比例——设系数矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right]$，则 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$（$ c_1, c_2 $ 为常数项）。

1.3 二元一次方程组的行图像示例（无穷多解情形）

若方程组满足“系数成比例且常数项成比例”，则对应的直线完全重合，解空间为整条直线，方程组有无穷多解。例如：
$$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x+4y=10\end{array}$$
系数矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]$ 的两行成比例（第二行是第一行的 2 倍），且常数项 $5$ 与 $10$ 也成 2 倍比例，因此两条直线完全重合，所有满足 $x+2y=5$ 的 $(x,y)$ 均为解。

1.4 行向量的线性相关性与方程组可解性

将系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的每一行视为一个 行向量（如上述示例中，${\mathbf{r}}_1=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right],{\mathbf{r}}_2=\left[\begin{array}{cc}2& 4\end{array}\right]$），则：

• 若存在非零常数 $k$，使得 ${\mathbf{r}}_i=k\cdot {\mathbf{r}}_j$（$i\ne j$），则称这两个行向量 线性相关；
• 若不存在这样的 $k$，则称行向量 线性无关。

结合行图像的几何意义，可得出核心结论：

1. 若系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的行向量 全部线性无关，则方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 必有解（且解唯一，二维情形下直线不平行、不重合）；
2. 若存在线性相关的行向量，则方程组可能无解（系数成比例但常数项不成比例），也可能有无穷多解（系数与常数项均成比例）——线性相关是“方程组无解或无穷多解”的必要非充分条件。

1.5 高维情形的行图像推广

行图像的逻辑可自然推广至高维方程组：

• 三元一次方程（3 个未知数）对应的解空间是 3 维空间（${\mathbb{R}}^3$） 中的一个平面；
• 四元一次方程对应的解空间是 4 维空间（${\mathbb{R}}^4$） 中的一个“超平面”（无法直观作图，但可通过维度逻辑分析）。

高维方程组的解即为所有超平面（或平面）的交集：交集为一点则有唯一解，交集为一条直线/平面则有无穷多解，无交集则无解。

2. 列空间的几何意义与矩阵乘法的本质

列空间的核心是从“列向量线性组合”的视角理解矩阵乘法 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，即将 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ 视为系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的列向量按 $\mathbf{x}$ 的分量进行线性组合，最终得到 $\mathbf{b}$。

2.1 矩阵乘法的两种计算视角

对于矩阵乘法 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$（其中 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{m\times n},\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{n\times 1},\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^{m\times 1}$），存在两种等价的计算逻辑：

（1）行视角：行向量与列向量的点积

将 $\mathbf{A}$ 的每一行视为行向量，与 $\mathbf{x}$（列向量）做点积，结果即为 $\mathbf{b}$ 的对应分量。其通用公式为：
$$b_i=\sum _{k=1}^n{A}_{ik}\cdot x_k(i=1,2,\dots ,m)$$
例如，对于 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$，则：
$$b_1=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x+2y,b_2=\left[\begin{array}{cc}2& 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=2x+3y$$

（2）列视角：列向量的线性组合

将 $\mathbf{A}$ 的每一列视为列向量，以 $\mathbf{x}$ 的分量为系数，对列向量进行线性组合，结果即为 $\mathbf{b}$。形式化表示为：
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=x_1\cdot {\mathbf{a}}_1+x_2\cdot {\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n\cdot {\mathbf{a}}_n=\mathbf{b}$$
其中 ${\mathbf{a}}_k=\left[\begin{array}{c}{A}_{1k}\\ A_{2k}\\ ⋮\\ A_{mk}\end{array}\right]$（$\mathbf{A}$ 的第 $k$ 列列向量），$x_k$ 为 $\mathbf{x}$ 的第 $k$ 个分量。

以 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right]$ 为例：
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=(-1)\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+3\cdot \left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1+6\\ -2+9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right]=\mathbf{b}$$

2.2 列图像的几何直观：线性组合的可视化

列图像的本质是将“列向量线性组合得到 $\mathbf{b}$”的过程可视化。以上述示例为例，其几何意义如下：

• 列向量 ${\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$（红色虚线向量）经数乘 $-1$ 后，方向反向，得到 $-1\cdot {\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}\right]$（红色实线向量）；
• 列向量 ${\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$（蓝色向量）经数乘 $3$ 后，长度伸展为原来的 3 倍，得到 $3\cdot {\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}6\\ 9\end{array}\right]$；
• 将两个数乘后的向量相加（遵循向量加法的“三角形法则”），最终得到 $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right]$（绿色向量）。

2.3 列向量的线性相关性与方程组可解性

列向量的线性相关性决定了“列向量线性组合能否覆盖整个目标空间”，进而决定方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是否有解。

（1）线性相关与线性无关的定义

对于 ${\mathbb{R}}^m$ 中的 $n$ 个列向量 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n$：

• 若存在不全为零的常数 $k_1,k_2,\dots ,k_n$，使得 $k_1{\mathbf{a}}_1+k_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +k_n{\mathbf{a}}_n=0$，则称这 $n$ 个列向量 线性相关；
• 若仅当 $k_1=k_2=\cdots =k_n=0$ 时上式成立，则称列向量 线性无关。

几何上，二维空间中两个列向量线性相关等价于“两向量共线”（方向相同或相反）；三维空间中三个列向量线性相关等价于“三向量共面”。

（2）列向量线性无关的充要条件与方程组可解性

核心结论：若系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的列向量 全部线性无关，则对任意 $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^m$，方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 必有解。

原因如下：线性无关的列向量其线性组合可“充满”整个目标空间（如二维空间中，不共线的两个向量可组合出平面内所有向量；三维空间中，不共面的三个向量可组合出空间内所有向量）。因此，任意 $\mathbf{b}$ 均可由这些列向量的线性组合表示，即存在对应的 $\mathbf{x}$ 满足 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

若列向量线性相关（如二维空间中两向量共线），则其线性组合仅能覆盖一条直线（无法充满整个平面）：

• 若 $\mathbf{b}$ 在这条直线上，则方程组有解（无穷多解）；
• 若 $\mathbf{b}$ 不在这条直线上，则方程组无解。

2.4 行向量与列向量线性相关性的一致性

对于任意矩阵 $\mathbf{A}$，其行向量的线性相关性与列向量的线性相关性具有 一致性：

• 若 $\mathbf{A}$ 的行向量全部线性无关，则其列向量也全部线性无关；
• 若 $\mathbf{A}$ 存在线性相关的行向量，则其列向量也存在线性相关。

例如：

• 矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]$ 的行向量线性相关（第二行是第一行的 2 倍），列向量也线性相关（第二列是第一列的 2 倍）；
• 矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$ 的行向量线性无关，列向量也线性无关。

这一一致性是后续“矩阵秩”概念的核心基础（矩阵的行秩等于列秩）。

3. 解空间的维度与自由度

方程组解空间的维度（如直线、平面）本质是“自由度”的体现——自由度即“确定解所需独立变量的个数”，解空间的维度等于自由度。

3.1 自由度与解空间维度的关系

以方程对应的解空间为例：

• 二元一次方程 $y=ax+b$（或 $ax+by+c=0$）：确定解 $(x,y)$ 时，只需任意指定 $x$ 的值，即可唯一确定 $y$ 的值，因此 自由度为 1，解空间为 1 维（直线）；
• 三元一次方程 $z=ax+by+c$（或 $ax+by+cz+d=0$）：确定解 $(x,y,z)$ 时，需任意指定 $x$ 和 $y$ 的值，即可唯一确定 $z$ 的值，因此 自由度为 2，解空间为 2 维（平面）；
• $n$ 元一次方程：自由度为 $n-1$，解空间为 $n-1$ 维（超平面）。

本质上，方程的作用是“约束一个维度”，使原 $n$ 维空间的解空间降维为 $n-1$ 维。
由上述方程可知，其中一个维度的取值（一个未知变量对应一个维度，如前文的 $y$ 和 $z$ 可由其余两个维度的取值（对应未知变量）唯一确定。当其余两个维度对应的未知变量取值确定时，该维度的取值也随之确定，即此维度不具备自由度。

具体而言，前文两个方程中：

• 二元一次方程的自由度为 1；
• 三元一次方程的自由度为 2。

从空间维度与自由度的对应关系来看：

• 二维空间的自由度为 2；
• 三维空间的自由度为 3。

而上述方程对应的自由度（1 和 2）均低于其所在空间的自由度，因此方程的解空间发生维度退化（简称“降维”）：

• 二元一次方程的解空间退化为自由度为 1 的空间，几何形态表现为一条直线；
• 三元一次方程的解空间退化为自由度为 2 的空间，几何形态表现为一个平面。

3.2 自由度与方程组解的个数

方程组解的个数由“所有方程约束后的总自由度”决定：

• 若总自由度为 0（如两个不平行的二元一次方程，约束两个维度），则解空间为 0 维（一个点），方程组有唯一解；
• 若总自由度为 $k>0$（如两个重合的二元一次方程，仅约束一个维度），则解空间为 $k$ 维（一条直线或平面），方程组有无穷多解；
• 若方程之间存在矛盾（如两个平行的二元一次方程），则无满足所有约束的解，方程组无解。

4. 最后

本文通过行图像与列图像的双视角，揭示了矩阵的几何意义与方程组可解性的核心逻辑，关键结论可概括为：

1. 行图像：方程组的解是各方程对应解空间（直线、平面或超平面）的交集，解的存在性由行向量的线性相关性决定；
2. 列图像：矩阵乘法 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是列向量的线性组合，解的存在性由列向量的线性相关性决定；
3. 一致性：矩阵的行向量与列向量线性相关性一致，这是“矩阵秩”的核心属性。

上述提到的方程组是否一定有解、维度、矩阵的秩(rank，反映线性无关向量的最大个数)以及矩阵是否可逆（方程组有唯一解的特殊情形），都是有相关性的。

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via：

• MIT线性代数笔记一 行图像和列图像_为什么行图和列图维度不一样-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/herosunly/article/details/88698381

  • ref
    1. Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra (5th Edition). Wellesley-Cambridge Press.
    2. David C. Lay. Linear Algebra and Its Applications (5th Edition). Pearson.
    3. deep learning - Hung-yi Lee
       https://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_ML19.html
    4. 麻省理工 线性代数 (MIT 18.06, Linear Algebra, Gilbert Strang)【中英】_bilibili
       https://www.bilibili.com/video/av34573725/
    5. 哈尔滨工业大学 矩阵分析 全72讲 主讲-严质彬 视频教程_bilibili
       https://www.bilibili.com/video/av11355346/

• MIT—线性代数笔记01 行图像和列图像 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/45708880

• 矩阵的几何意义（行图像和列图像） - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/618370114