导言：超越时间，拥抱空间

在前两篇章中，我们已经走过了漫长而深刻的旅程。我们学会了用常微分方程（ODE）来描述事物如何随时间演化，从一个初始状态出发，描绘出一条独一无二的生命轨迹。我们还学会了用动力系统的宏大视角，去审视所有可能轨迹构成的全局图景，理解系统的稳定归宿与质变。

然而，我们一直以来都将系统视为一个抽象的“点” $\mathbf{y}(t)$ 在状态空间中移动。但现实世界远比这更丰富。想象一下：

• 加热一根铁棒的一端，热量是如何沿着棒传递到另一端的？温度不仅随时间变化，更随空间位置变化。
• 向平静的湖面投下一颗石子，泛起的涟漪是如何向四周扩散的？水面的高度不仅随时间变化，也随空间坐标变化。
• 空气中的声波、电磁场中的无线电信号，它们的传播都同时涉及时间和空间。

这些现象的共同点是，我们关心的物理量（如温度 $u(t,x)$、波高 $u(t,x,y)$）是一个多元函数，它的自变量既包括时间 $t$，也包括一个或多个空间坐标 $\mathbf{x}$。描述这种时空耦合变化的数学语言，就是偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）。

如果说ODE是时间的独奏曲，那么PDE就是时空的交响乐。

在传统的科学与工程领域，求解PDE是计算科学的“珠穆朗玛峰”。工程师们发展出了有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）、有限体积法（FVM）等强大的数值工具，通过将时空离散成精细的网格，来近似求解这些复杂的方程。这些方法是现代文明的基石，驱动着天气预报、飞机设计、结构分析等无数应用。

但是，这些传统方法也面临着巨大的挑战，尤其是在处理高维问题（所谓的“维度诅咒”）和复杂几何形状时。

而今天，我们将见证一场正在发生的革命。我们将看到，神经网络，这个以其强大的函数拟合能力而闻名的工具，如何以一种全新的、颠覆性的方式来求解PDE。我们将深入学习物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs），它不依赖于网格，而是通过一种绝妙的方式，将物理定律（以PDE的形式）直接编码到神经网络的损失函数中。

通过PINNs，神经网络不再是一个只会模仿数据的“鹦鹉”，它变成了一个懂得并遵守物理定律的“学者”。它学会的不仅是“是什么”，更是“为什么”。

本章将带你：

1. 建立PDE的宏观认知：理解PDE的核心分类及其对应的物理内涵，明白为何需要初始和边界条件。
2. 理解“解”的现代意义：跳出经典解的束缚，了解为现代数值方法奠定基础的“弱解”思想。
3. 掌握PINNs的核心思想：揭示神经网络如何通过自动微分和精心设计的损失函数，被训练来“遵守”物理定律，从而求解PDE。

这不仅仅是学习一种新的AI技术，更是理解一种全新的科学计算范式。准备好，让我们一起聆听这场由数学、物理与AI共同谱写的时空交响。

第一部分：PDE的核心数学理论

在我们踏入AI与PDE结合的新大陆之前，必须先对PDE这片古老而广袤的领域有一个清晰的地图。我们将聚焦于那些对理解其物理意义和数值求解至关重要的核心概念。

PDE的定义与分类

定义

一个偏微分方程（PDE）是一个包含未知多元函数及其偏导数的方程。如果未知函数是 $u(t,x,y,\dots )$，那么方程中就会出现像 $\frac{\partial u}{\partial t}$, $\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$, $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$ 这样的项。

与ODE只有一个自变量（通常是时间 $t$）不同，PDE至少有两个自变量。

一个经典的例子是一维热传导方程：
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$
这里，$u(t,x)$ 代表在时刻 $t$、位置 $x$ 处的温度，$\alpha$ 是一个常数，代表材料的热扩散率。这个方程描述了温度随时间的变化率（左边）正比于其在空间上的曲率（右边，二阶导数衡量了函数是“凸”还是“凹”）。直观上，如果一个点比它两边的点温度都高（局部最大值，曲率为负），它的温度就会下降，热量会向两边扩散。

阶数与线性

与ODE类似，PDE也根据最高阶偏导数的阶数来定义其阶数。热传导方程是二阶的。PDE也可以是线性的或非线性的，判断标准是未知函数 $u$ 及其所有导数是否都以线性的方式出现。热传导方程是线性的。而像纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）这样描述流体运动的方程，则是高度非线性的。

三大基本类型

对于二阶线性PDE，它们可以被分为三个基本类型，这个分类至关重要，因为它直接决定了方程所描述的物理现象的性质以及求解该方程所需的数学方法。这三大类型是：椭圆型、抛物型和双曲型。

1. 椭圆型（Elliptic）PDE：描述稳态

   • 典型代表：拉普拉斯方程（Laplace’s Equation）
     $${\nabla }^{2}u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$

   • 物理内涵：椭圆型PDE通常描述的是稳态（steady-state）或平衡问题。它们不包含时间导数项。想象一下，我们对一块金属板的边界进行加热或冷却，并保持边界温度恒定，经过足够长的时间后，板内各点的温度不再随时间变化，达到一个平衡分布。这个最终的温度分布 $u(x,y)$ 就由拉普拉斯方程决定。

   • 解的性质：椭圆型方程的解具有极致的平滑性。解内部不可能有任何极值点（最大或最小值），除非它是一个常数。最大值和最小值一定出现在区域的边界上（这被称为最大值原理）。更重要的是，它的解是全局耦合的。边界上任何一点的一个微小扰动，会瞬间影响到整个定义域内的所有点。它描述的是一个已经达到平衡的、作为一个整体存在的系统。

2. 抛物型（Parabolic）PDE：描述扩散

   • 典型代表：热传导方程（Heat Equation）
     $$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha {\nabla }^{2}u$$

   • 物理内涵：抛物型PDE描述的是扩散（diffusion） 过程。除了热传导，分子的扩散、化学物质浓度的变化等都属于此类。它有一个时间演化的方向，系统会从一个初始状态开始，逐渐向平衡态（由对应的椭圆型方程描述）演化。

   • 解的性质：抛物型方程具有两大特性。第一是无限传播速度。理论上，初始时刻在某一点的一个扰动，会瞬间以微小的幅度影响到所有其他点。第二是平滑效应。即使初始条件是尖锐的、不连续的（比如在一点上集中了所有热量），只要时间 $t>0$，解就会立刻变得无限光滑（无限次可微）。它会迅速“抹平”任何不规则性。

3. 双曲型（Hyperbolic）PDE：描述波动

   • 典型代表：波动方程（Wave Equation）
     $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2{\nabla }^{2}u$$

   • 物理内涵：双曲型PDE描述的是波动（wave propagation） 现象。琴弦的振动、声波的传播、电磁波的传播都由它控制。注意它有一个二阶时间导数，这与加速度有关，暗示了系统具有“惯性”。

   • 解的性质：双曲型方程最显著的特点是信息以有限速度传播。这里的常数 $c$ 就是波的传播速度。在 $t$ 时刻，一个点只会受到其过去某个有限区域（称为“影响域”）内的事件的影响。反之，一个初始扰动也只会影响到未来时空中一个特定的区域（称为“依赖域”），这个区域的边界被称为“特征线”，信息就沿着特征线传播。正因为如此，双曲型方程的解允许不连续性的存在和传播，例如激波（shock wave）。一个尖锐的波形可以保持其尖锐性并传播出去。

理解这三种类型的区别，对于选择正确的数值方法和设定正确的定解问题至关重要。你不能用处理波动问题的方法去处理一个稳态的平衡问题。

定解问题：让解唯一

对于ODE，我们只需要一个初始条件（如 $\mathbf{y}(t_0)={\mathbf{y}}_0$）就能确定一个唯一的解。但对于PDE，情况要复杂得多。由于自变量包含了空间维度，我们不仅需要规定系统的“出发”状态，还需要规定系统在其空间“边界”上必须遵守的规则。

一个PDE本身，加上一套使其解唯一存在的初始条件（Initial Conditions, ICs）和边界条件（Boundary Conditions, BCs），共同构成了一个定解问题（Well-Posed Problem）。

初始条件 (ICs)

初始条件规定了系统在起始时刻（通常是 $t=0$）在整个空间区域内的状态。

• 对于像热传导方程（一阶时间导数）这样的抛物型方程，我们通常需要一个初始条件，即初始温度分布 $u(0,\mathbf{x})=g(\mathbf{x})$。
• 对于像波动方程（二阶时间导数）这样的双曲型方程，我们通常需要两个初始条件，即初始位移 $u(0,\mathbf{x})=g(\mathbf{x})$ 和初始速度 $\frac{\partial u}{\partial t}(0,\mathbf{x})=h(\mathbf{x})$。这和牛顿力学中需要初始位置和初始速度来确定一个物体的运动轨迹是类似的。

边界条件 (BCs)

边界条件规定了系统在其空间定义域 $\Omega$ 的边界 $\partial \Omega$ 上必须满足的约束。它们在整个求解过程中持续起作用。

最常见的三种边界条件是：

1. 第一类边界条件：狄利克雷（Dirichlet）条件

   • 形式：直接规定解在边界上的函数值。
     $$u{|}_{\partial \Omega }=f(\mathbf{x})$$

   • 物理意义：这相当于固定了边界上的物理量。例如，将一个金属板的边缘浸入一个恒温水槽中，就规定了边界上的温度。

2. 第二类边界条件：诺伊曼（Neumann）条件

   • 形式：规定解在边界外法线方向上的导数。
     $$\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}{|}_{\partial \Omega }=g(\mathbf{x})$$

   • 物理意义：这通常与“通量”（flux）有关。例如，在热传导问题中，法向导数与热流密度成正比。如果规定 $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}=0$，则意味着边界是绝热的，没有热量流进或流出。

3. 第三类边界条件：罗宾（Robin）条件

   • 形式：规定解的函数值和法向导数的线性组合。
     $$\left(au+b\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\right){|}_{\partial \Omega }=h(\mathbf{x})$$

   • 物理意义：这描述了边界与外部环境的对流换热等更复杂的情况。例如，一个物体暴露在空气中，其表面的散热速率既与物体表面温度有关，也与周围空气温度有关。

一个PDE定解问题必须包含PDE本身、在定义域内的初始条件（如果问题与时间相关）以及在定义域边界上的边界条件。缺少任何一部分，解都可能是不唯一的或不存在的。

“解”的现代概念：弱解

当我们说“求解”一个PDE时，我们通常默认寻找的是一个经典解（Classical Solution），即一个在定义域内处处可微，并且代入方程后使其严格成立的函数。

然而，这个要求在很多情况下过于苛刻。我们已经知道，双曲型方程允许激波这样的不连续解。在激波面上，导数根本不存在，因此它不可能是经典解。难道物理世界中真实存在的激波，在数学上就没有“解”的地位吗？

为了解决这个问题，数学家们发展了弱解（Weak Solution） 或广义解（Generalized Solution） 的概念。

弱解的核心思想是：放宽对“逐点满足方程”的要求，转而要求方程在一种“平均”或“积分”的意义下成立。

这个过程通常是这样的：

1. 假设我们有PDE $L(u)=f$，其中 $L$ 是一个微分算子（比如 $L=\frac{\partial }{\partial t}-\alpha \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$）。

2. 我们不直接要求 $L(u)-f=0$ 处处成立。而是引入一类性质非常好的“检验函数”（Test Function）$\varphi (\mathbf{x},t)$。这些检验函数通常是无限可微且在区域边界外为零的。

3. 我们将原方程两边都乘以一个任意的检验函数 $\varphi$，然后在整个时空域上进行积分：
   $$\iint (L(u)-f)\varphi d\mathbf{x}dt=0$$

4. 接下来是关键一步：使用分部积分（Integration by Parts）（在多元情况下是格林公式或散度定理），将微分算子 $L$ 从可能“不够光滑”的未知解 $u$ 身上，转移到无限光滑的检验函数 $\varphi$ 身上。

例如，对于一维泊松方程 $-u^{\prime \prime }(x)=f(x)$，其弱形式的推导是：
$$\int -u^{\prime \prime }(x)\varphi (x)dx=\int f(x)\varphi (x)dx$$
对左边进行分部积分：
$$\int u^{\prime }(x){\varphi }^{\prime }(x)dx-[u^{\prime }(x)\varphi (x){]}_{\text{boundary}}=\int f(x)\varphi (x)dx$$
由于检验函数在边界为零，边界项消失。于是我们得到弱形式：
$$\int u^{\prime }(x){\varphi }^{\prime }(x)dx=\int f(x)\varphi (x)dx$$
一个函数 $u$，只要它自己和它的一阶导数是可积的（比二阶可微的要求弱得多），并且对于所有检验函数 $\varphi$ 都满足上面的积分方程，那么它就被称为原PDE的一个弱解。

这个概念的转变是现代PDE理论和数值分析的基石。它不仅极大地扩展了我们认为“可解”的PDE的范围，也为有限元法（FEM）等强大的数值方法提供了坚实的理论基础。FEM的本质，就是去寻找满足方程弱形式的近似解。

第二部分：思想的桥梁——PDE与AI的革命性结合

有了对PDE的坚实理解，我们现在可以踏上那座连接经典物理世界与现代人工智能的宏伟桥梁。我们将看到，神经网络如何被“教导”去理解并遵守那些支配宇宙的物理定律。

物理信息神经网络（PINNs）

核心思想：一个全新的求解范式

传统数值方法（FDM, FEM）的核心是离散化。它们将连续的时空域切分成一个有限的网格（或单元），然后将PDE在这些网格点（或单元）上转化为一个大型的代数方程组来求解。

物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs） 提出了一种截然不同的、无网格的（mesh-free）方法。其核心思想是：

我们不直接求解PDE在离散点上的值，而是用一个连续的、可微分的神经网络 $u_{\theta }(t,\mathbf{x})$ 来直接作为PDE潜在解的代理（surrogate）或逼近。

这里的 $\theta$ 代表神经网络的所有权重和偏置。这个神经网络的输入是时空坐标 $(t,\mathbf{x})$，输出是该点对应的物理量 $u$ 的值。由于神经网络是解析表达式（尽管很复杂），我们可以利用自动微分（Automatic Differentiation, AD） 来精确地计算它对任何输入的任意阶导数，例如 $\frac{\partial u_{\theta }}{\partial t}$, $\frac{\partial u_{\theta }}{\partial x}$, $\frac{{\partial }^2{u}_{\theta }}{\partial x^2}$ 等。

那么，如何保证这个神经网络的输出 $u_{\theta }$ 就是我们想要的那个PDE的解呢？答案就在于其巧妙的损失函数设计。

损失函数的构建：将物理定律编码为惩罚项

PINNs的精髓，在于其将整个PDE定解问题——包括PDE本身、初始条件和边界条件——全部转化为一个可以被优化的复合损失函数。

$$\mathcal{L}(\theta )={\mathcal{L}}_{pde}(\theta )+{\lambda }_{ic}{\mathcal{L}}_{ic}(\theta )+{\lambda }_{bc}{\mathcal{L}}_{bc}(\theta )$$

这个损失函数由三个部分构成，${\lambda }_{ic}$ 和 ${\lambda }_{bc}$ 是用于平衡各项的权重。

1. 物理残差损失 ${\mathcal{L}}_{pde}$：核心创新

   首先，我们定义PDE的残差（residual）。对于一个PDE，我们把它写成 $F(u,\frac{\partial u}{\partial t},\dots )=0$ 的形式。残差就是将神经网络 $u_{\theta }$ 代入这个方程的左边：
   $$r(t,\mathbf{x};\theta )=F\left(u_{\theta }(t,\mathbf{x}),\frac{\partial u_{\theta }}{\partial t}(t,\mathbf{x}),\dots \right)$$
   这个残差 $r$ 衡量了我们的神经网络 $u_{\theta }$ 在多大程度上违反了物理定律。如果 $u_{\theta }$ 是一个完美的解，那么残差在任何点都应该为零。

   这里的魔法在于，所有对 $u_{\theta }$ 的偏导数，都是通过自动微分（AD）来精确计算的。 AD是现代深度学习框架（如PyTorch, TensorFlow, JAX）的基石。它不是像有限差分那样的数值近似（(f(x+h)-f(x))/h），而是利用链式法则，对一个由基本运算构成的计算图，得到其解析上精确的导数值。

   为了计算 ${\mathcal{L}}_{pde}$，我们在整个时空定义域内部随机采样大量的点，这些点被称为配置点（collocation points） $\{(t_i,{\mathbf{x}}_i){\}}_{i=1}^{N_{pde}}$。然后，我们计算这些点上残差的均方误差（Mean Squared Error, MSE）：
   $${\mathcal{L}}_{pde}(\theta )=\frac{1}{N_{pde}}\sum _{i=1}^{N_{pde}}||r(t_i,{\mathbf{x}}_i;\theta )|{|}^2$$
   通过最小化这个损失项，我们就在强迫神经网络在整个定义域内部都去遵守这个物理定律。

2. 初始/边界条件损失 ${\mathcal{L}}_{ic},{\mathcal{L}}_{bc}$：锚定解

   光遵守物理定律是不够的，这可能会产生无穷多个满足定律的解。我们需要用初始和边界条件来“锚定”到我们想要的那个特定解。

   • 初始条件损失 ${\mathcal{L}}_{ic}$：我们在初始时刻 $t=0$ 的空间域上采样一批点 { x j } j = 1 N i c \{ \mathbf{x}_j \}_{j=1}^{N_{ic}} {xj​}j=1Nic​​，这些点上的真实解是已知的，为 $g({\mathbf{x}}_j)$。我们计算神经网络的预测值与真实值之间的MSE：
     $${\mathcal{L}}_{ic}(\theta )=\frac{1}{N_{ic}}\sum _{j=1}^{N_{ic}}||u_{\theta }(0,{\mathbf{x}}_j)-g({\mathbf{x}}_j)|{|}^2$$

   • 边界条件损失 ${\mathcal{L}}_{bc}$：我们在空间域的边界 $\partial \Omega$ 上采样一批点 $\{(t_k,{\mathbf{x}}_k){\}}_{k=1}^{N_{bc}}$，并计算神经网络的输出与给定的边界条件之间的MSE。例如，对于狄利克雷边界条件 $u{|}_{\partial \Omega }=f(\mathbf{x})$：
     $${\mathcal{L}}_{bc}(\theta )=\frac{1}{N_{bc}}\sum _{k=1}^{N_{bc}}||u_{\theta }(t_k,{\mathbf{x}}_k)-f({\mathbf{x}}_k)|{|}^2$$
     对于诺伊曼或罗宾条件，损失项中也会包含通过AD计算的导数项。

训练过程：让神经网络“学习”物理

有了这个复合损失函数 $\mathcal{L}(\theta )$，接下来的过程就是标准的深度学习训练流程了：

1. 初始化一个神经网络 $u_{\theta }$。
2. 在每一次训练迭代中：
   • 在时空域内部、初始时刻、边界上分别采样一批点。
   • 通过前向传播和自动微分，计算出 ${\mathcal{L}}_{pde},{\mathcal{L}}_{ic},{\mathcal{L}}_{bc}$。
   • 将它们加权求和得到总损失 $\mathcal{L}(\theta )$。
   • 通过反向传播计算损失对网络参数 $\theta$ 的梯度 ${\nabla }_{\theta }\mathcal{L}$。
   • 使用一个优化器（如Adam）来更新参数：$\theta \leftarrow \theta -\eta {\nabla }_{\theta }\mathcal{L}$。
3. 重复第2步，直到损失收敛到一个很小的值。

当训练完成时，我们得到的神经网络 $u_{\theta }$ 就是一个连续的、解析的、在整个时空域内都近似满足PDE及其定解条件的函数。我们可以输入任意的时空坐标 $(t,\mathbf{x})$，它就能立即给出该点的解。

这张图清晰地展示了PINN的架构。输入 $(t,x)$ 经过一个全连接神经网络得到输出 $u_{\theta }(t,x)$。然后，通过自动微分计算出PDE的残差。这个残差与边界/初始条件上的误差共同构成了总损失，用于通过梯度下降来训练网络。

PINNs的范式是如此强大和灵活，它不仅可以求解PDE（正问题），还可以解决更困难的逆问题。例如，如果我们不知道热传导方程中的热扩散率 $\alpha$，但我们有一些零散的内部温度测量数据。我们可以把 $\alpha$ 也作为一个待优化的参数，加到损失函数中，让网络在拟合数据的同时，反推出最有可能的物理参数 $\alpha$。这是传统方法极难做到的。

PINNs的出现，真正意义上实现了数据驱动与物理模型的深度融合，为科学计算开启了一个充满想象力的新纪元。

第三部分：练习与巩固

理论的交响乐虽美妙，但唯有亲手指挥，方能领悟其精髓。以下练习将带你从理论辨析到代码实现，全方位巩固你对PDE和PINNs的理解。

理论题

1. PDE分类与物理直觉：对于以下三个物理场景，请判断它最适合用哪一类（椭圆、抛物、双曲）PDE来描述，并解释你的理由，说明你预期的解会具有什么样的性质（例如，是否光滑，信息传播速度等）。

   • (a) 预测一个绷紧的鼓面被敲击后，其表面的振动形态随时间的变化。
   • (b) 计算一个形状不规则的金属零件在稳定电流下，其内部的电势分布。
   • (c) 模拟一滴墨水滴入静止的水中后，其浓度随时间和空间的变化。

2. PINNs损失函数的核心：在PINNs的复合损失函数 $\mathcal{L}={\mathcal{L}}_{pde}+{\lambda }_{ic}{\mathcal{L}}_{ic}+{\lambda }_{bc}{\mathcal{L}}_{bc}$ 中，有人认为，只要有足够多的初始和边界数据点，我们也许可以去掉物理残差项 ${\mathcal{L}}_{pde}$，仅靠 ${\mathcal{L}}_{ic}$ 和 ${\mathcal{L}}_{bc}$ 来训练一个标准的神经网络。你认为这种方法可行吗？它与完整的PINN方法相比，有什么本质的区别和潜在的缺陷？（提示：从数据依赖性、泛化能力和“内插”与“外插”的角度思考）。

3. 新旧范式对比：请从以下几个方面，对比有限元法（FEM） 和物理信息神经网络（PINNs） 这两种PDE求解范式。

   • (a) 对求解域的处理方式（网格依赖性）。
   • (b) 对高维问题的适应性（维度诅咒）。
   • (c) 对解的表示形式（离散 vs. 连续）。
   • (d) 实现的编程范式（数值线性代数 vs. 梯度优化）。

4. 自动微分 vs. 数值微分：在计算PINN的物理残差时，我们强调了使用自动微分（AD）的重要性。请解释AD与数值微分（例如，用有限差分公式 $f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$）的根本区别。为什么说AD是“精确的”？使用数值微分来计算PINN的梯度会带来什么问题？

编程与计算题

5. 自动微分实战：
   使用你选择的深度学习框架（PyTorch或JAX/TensorFlow），定义一个函数 $u(x,y)=\sin (\pi x)\cos (\pi y)e^{-x}$。

   • (a) 编写代码，利用自动微分计算其一阶偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 在点 $(x=1,y=0.5)$ 处的值。
   • (b) 编写代码，计算其二阶偏导数 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$ 和 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$ 在同一点的值。
   • (c) 手动求出这些导数的解析表达式，并验证你的代码计算结果是否正确。

6. 构建PINN损失函数：
   考虑一维波动方程定解问题：
   $$\{\begin{array}{ll}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0,& x\in (0,1),t>0\\ u(0,x)=\sin (\pi x),& \text{(IC1: 初始位移)}\\ \frac{\partial u}{\partial t}(0,x)=0,& \text{(IC2: 初始速度)}\\ u(t,0)=0,u(t,1)=0,& \text{(BCs: 边界固定)}\end{array}$$
   假设你有一个神经网络 $u_{\theta }(t,x)$。请写出用于训练该网络的三个损失项 ${\mathcal{L}}_{pde},{\mathcal{L}}_{ic},{\mathcal{L}}_{bc}$ 的数学表达式（以均方误差形式）。请明确指出每个损失项的采样点来自哪个区域。

7. 实现一个简单的PINN求解器：
   我们将用PINN求解一个简单的一维泊松方程：
   $$-u^{\prime \prime }(x)={\pi }^2\sin (\pi x),x\in (0,1)$$
   边界条件为 $u(0)=0,u(1)=0$。该问题的真实解为 $u(x)=\sin (\pi x)$。

   • (a) 使用PyTorch构建一个简单的全连接神经网络，输入为 $x$，输出为 $u_{\theta }(x)$。
   • (b) 定义复合损失函数 $\mathcal{L}(\theta )={\mathcal{L}}_{pde}+{\mathcal{L}}_{bc}$。其中 ${\mathcal{L}}_{pde}$ 在区间 $(0,1)$ 内随机采样点计算，${\mathcal{L}}_{bc}$ 在边界点 $x=0$ 和 $x=1$ 计算。
   • (c) 编写训练循环，训练你的网络。
   • (d) 训练结束后，绘制你的PINN解 $u_{\theta }(x)$ 和真实解 $u(x)=\sin (\pi x)$ 的对比图，并计算两者之间的相对L2误差，以评估求解效果。

8. 逆问题初探：
   考虑一维热传导方程 $\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$，但这次我们不知道热扩散率 $\alpha$ 的值。假设我们有一些在不同时空点的温度测量数据 $\{(t_i,x_i,u_i^{\text{data}})\}$。

   • (a) 如何修改PINN的框架来同时求解 $u(t,x)$ 并推断出未知的常数 $\alpha$？（提示：将 $\alpha$ 视为一个可训练的参数）。
   • (b) 请写出这种情况下新的复合损失函数。它应该包含哪些部分？

思考与拓展题

9. PINNs的挑战：谱偏见：研究表明，标准的全连接神经网络在学习函数时存在“谱偏见”（spectral bias），即它们倾向于先学习到目标函数的低频部分，而学习高频部分则非常困难。对于PDE求解，这可能意味着什么问题？（例如，在模拟包含精细结构或快速振荡的解时）。你有什么初步的想法来缓解这个问题吗？

10. PINNs与无监督学习：在某种意义上，PINNs的训练过程（尤其是${\mathcal{L}}_{pde}$部分）可以被看作是一种无监督学习。请阐述你对这个观点的理解。在哪些场景下，这种“无监督”的特性会显得特别有价值？