2025高教社国赛数学建模A题参考论文35页（含代码和模型）

2025国赛数学建模竞赛A题完整参考论文

摘要

1 问题背景与重述

2 问题分析

2.1 问题一分析

2.2 问题二分析

2.3 问题三分析

2.4 问题四分析

2.5 问题五分析

3 符号说明

4 模型假设

5 模型建立与求解

5.1 问题一烟幕有效遮蔽时长计算

图 1 位置信息可视图

5.1.1 导弹运动模型建立

5.1.2 烟幕弹抛投与起爆位置模型

5.1.3 烟幕云团运动与遮蔽条件模型

5.1.4 有效遮蔽时长计算模型

5.1.5 数值模拟与求解方法

5.1.6 问题一的求解

5.2 问题二单无人机单弹干扰 M1 的最优遮蔽策略设计

5.2.1 决策变量定义

5.2.2 运动轨迹建模

5.2.3 约束条件

5.2.4 优化模型归纳

5.2.5 问题二的求解

5.3 问题三模型的建立与求解

5.3.1 问题三模型的建立

5.3.2 问题三的求解

5.4 问题四、五模型的建立与求解

6 模型评价与改进

6.1 模型的优点

6.2 模型的缺点

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参考文献

基于模拟遗传退火的烟幕弹投递方式的研究摘要烟幕干扰弹作为一种具有成本低、效费比高等优点的典型防御手段，主要通过化学燃烧或爆炸分散形成气溶胶云团，在目标前方特定空域形成有效遮蔽，从而干扰敌方导弹攻击路径。随着精确投放技术的发展，现可利用无人机实现烟幕干扰弹的定点抛撒和定时起爆。本文基于三维运动学分析与约束优化理论，建立烟幕干扰弹投放与起爆的时空协同模型，以最大化对真目标的有效遮蔽时间为目标，系统研究不同战术场景下的最优投放策略。针对问题一，在给定无人机以 120m/s 速度朝向假目标飞行、受领任务 1.5s 后投弹、3.6s 后起爆的条件下，通过建立导弹匀速直线运动轨迹模型与烟幕弹平抛下沉复合运动模型，结合烟幕有效遮蔽半径与持续时间约束，构建基于距离判据的遮蔽判定准则，采用高精度数值积分方法计算出烟幕对导弹 M1 的有效遮蔽时长为 1.4 秒。针对问题二，以无人机飞行方向角、飞行速度、投弹时间及起爆时间为决策变量，综合考虑速度范围约束、时间非负约束、起爆高度约束等条件，建立以遮蔽时间最大化为目标的非线性优化模型。采用改进遗传算法进行全局寻优，通过自适应交叉变异策略提升搜索效率，最终求解出使遮蔽时间最大化的最优参数组合，实现单机单弹干扰策略的优化设计。针对问题三至五，分别研究单机多弹、多机单弹及多机多弹协同干扰等复杂场景。通过解析烟幕云团最优遮蔽位置序列，建立多弹时序协同与空间匹配机制，构建多约束条件下的组合优化模型。针对问题规模与复杂度，采用混合智能优化算法（模拟退火-遗传算法）进行高效求解，最终输出各场景下的最优投弹策略及相应参数。关键词：烟幕干扰；无人机投弹；运动学建模；时序优化

1 问题背景与重述烟幕干扰技术是一种通过形成气溶胶云团来遮蔽目标、干扰敌方导弹的重要防御手段，具有成本低、效费比高的特点。随着精确投放技术的发展，现可利用无人机实现烟幕干扰弹的定点抛撒和定时起爆，在来袭导弹与保护目标之间形成有效遮蔽。现需针对空地导弹袭击场景，设计无人机投放烟幕干扰弹的最优策略。已知导弹飞行速度为 300m/s ，指向假目标飞行；真目标位于(0,200,0)；5 架无人机和 3 枚导弹的初始位置已知。无人机可在 70~ 140m/s 速度范围内调整航向和速度，投放的烟幕弹起爆后形成下沉速度为 3m/s 的球状云团，在 10m 范围内提供最长 20s 的有效遮蔽。因此研究需要建立数学模型，优化无人机飞行参数和烟幕弹投放策略，以最大化对真目标的遮蔽时间。基于以上信息，根据相关参数，解决以下问题：（1）给定 FY1 无人机以 120m/s 向假目标飞行，受领任务 1.5s 后投放烟幕弹，3.6s 后起爆，计算对 M1 导弹的有效遮蔽时长。（2）优化 FY1 无人机的飞行方向、速度、投放点和起爆点，使对 M1 的遮蔽时间最长。（3）利用 FY1 投放 3 枚烟幕弹干扰 M1 ，给出最优投放策略并输出至 result1.xlsx。（4）利用 FY1、FY2、FY3 各投 1 枚烟幕弹干扰 M1，给出最优策略并输出至 result2.xlsx。（5）利用 5 架无人机（每架最多投 3 枚）同时对 M1 、M2 、M3 进行干扰，给出最优策略并输出至 result3.xlsx。 2 问题分析 2.1 问题一分析该问题要求利用无人机 FY1 投放单枚烟幕干扰弹对导弹 M1 实施干扰，并在给定无人机飞行速度、飞行方向、干扰弹投放时间与起爆时间间隔的条件下，计算该枚干扰弹对 M1 的有效遮蔽时长。本论文考虑烟幕干扰弹脱离无人机后的平抛运动特性及起爆后的匀速下沉

过程，针对导弹 M1 匀速飞向假目标的运动轨迹，建立导弹与烟幕云团的三维运动学模型。通过几何关系分析烟幕云团对导弹与真目标之间视线的遮挡条件，计算过程中结合烟幕有效遮蔽半径 10 米及持续 20 秒的特性，构建视线遮挡判断准则，进而通过数值模拟方法计算出有效遮蔽时间。

2.2 问题二分析

该问题要求利用无人机 FY1 投放单枚烟幕干扰弹对导弹 M1 实施干扰，通过优化无人机的飞行方向、飞行速度、干扰弹投放点及起爆点，最大化有效遮蔽时间。

本文将无人机飞行方向、飞行速度、干扰弹投放时间和起爆时间作为决策变量，构建以遮蔽时长为目标的非线性优化模型。综合考虑无人机匀速直线飞行、干扰弹平抛运动及烟幕云团匀速下沉的物理过程，结合变量取值范围约束和落地前起爆条件

最后设计基于智能优化算法的求解策略，通过系统搜索决策空间，确定使遮蔽持续时间达到最大的最优参数配置。

2.3 问题三分析

该问题要求利用单架无人机 FY1 投放 3 枚烟幕干扰弹对导弹 M1 实施干扰，并给出最优投放策略。由于直接采用数值模拟方法搜索三维决策空间计算效率较低，需结合运动学机理挖掘烟幕弹投放的空间规律。

本文基于导弹与真目标之间的视线几何关系，解析烟幕云团有效遮蔽的空间区域特征，建立最优遮蔽位置模型。通过逆向推导，将原优化问题转化为先求解烟幕弹最佳起爆位置，再反演无人机的飞行方向、速度及投弹时序。求解过程中需综合考虑多枚干扰弹投放时间间隔约束、无人机飞行约束及遮蔽持续时间等因素，通过序列决策优化，确定三枚烟幕弹的协同投放策略。

2.4 问题四分析

该问题要求利用三架无人机（FY1、FY2、FY3）各投放 1 枚烟幕干扰弹对导弹 M1 实施干扰。

本文延续问题三中对最优遮蔽位置的分析思路，基于单枚烟幕弹最佳起爆位置模型，进一步研究多枚烟幕弹在时间序列上的衔接机制。通过建立多弹遮蔽时间窗口匹配模型，优化各无人机飞行参数与投弹起爆时序，使得三枚烟幕弹形成

5.1.1 导弹运动模型建立导弹 M1 的运动轨迹采用匀速直线运动模型进行描述。在该模型中，假设导弹在飞行过程中不受任何外力干扰,如重力、空气阻力或控制指令等，因此其运动状态保持恒定，即速度向量的大小和方向均不发生变化，运动轨迹为一条直线。设定假目标的位置为三维坐标系原点 O(0,0,0) ，导弹的初始位置为 PM 1 (0) = (20000, 0, 2000) 。导弹的飞行速度大小为vM = 300m / s ，其飞行方向精确指向假目标原点 O。由于原点位于导弹初始位置的反方向，因此导弹的速度向量应指向原点，即与初始位置向量的方向相反。根据运动学原理，速度向量的方向可由初始位置向量的单位向量确定。具体而言，从导弹初始位置指向原点的单位向量 u 可表示为：

5.1.2 烟幕弹抛投与起爆位置模型

无人机 FY1 的运动遵循等高度匀速直线运动模型。该模型假设无人机在飞行过程中保持固定高度，且以恒定速度沿直线飞行，忽略空气动力学效应、风力干扰及机动变化等影响因素，是一种适用于理想化场景的运动学描述。

无人机初始位置位于三维坐标系中的点PFY1(0) ＝(17800, 0, 1800) ，单位均米，其初始位置位于XOZ平面内。

无人机飞行速度大小为VFY₁ = 120 米每秒，飞行方向精确指向假目标所在位置即坐标系原点O 。由于原点位于无人机初始位置的相反方向，其速度向量可表示为初始位置向量的反方向单位向量与速度大小的乘积。具体而言，速度向量

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