本节内容是关于正矩阵（postive matrices）： 每个元素 $a_{ij}>0$，它核心的结论是：最大的特征值为正实数，其对应的特征向量也是如此。 在经济学、生态学、人口动力系统和随机游走过程中都充分运用了该结论：$$\begin{array}{rl}马尔可夫矩阵\text{Markov}:& {\lambda }_{\text{max}}=1\\ 人口动力系统\text{Population}:& {\lambda }_{\text{max}}>1\\ 消耗矩阵\text{Consumption}:& {\lambda }_{\text{max}}<1\end{array}$$${\lambda }_{\text{max}}$ 控制着 $A$ 的幂的增长速度。我们先看 ${\lambda }_{\text{max}}=1$ 的情况。

一、马尔可夫矩阵

在一个正向量 ${\mathbf{u}}_0$ 重复左乘矩阵 $A$：$$\begin{array}{c}马尔可夫矩阵\\ \text{Markov matrix}\end{array}A=\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.3\\ 0.2& 0.7\end{array}\right]{\mathbf{u}}_1=A{\mathbf{u}}_0,{\mathbf{u}}_2=A{\mathbf{u}}_1=A^2{\mathbf{u}}_0$$进行 $k$ 步后，我们得到 $A^k{\mathbf{u}}_0$，向量 ${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,{\mathbf{u}}_3,\cdots$ 会趋于 “稳定状态” ${\mathbf{u}}_{\infty }=(0.6,0.4)$，这最终的结果并不取决于起始向量 ${\mathbf{u}}_0$，每个 ${\mathbf{u}}_0=(a,1-a)$ 都会收敛于 ${\mathbf{u}}_{\infty }=(0.6,0.4)$. 为什么呢？
稳态方程 $A{\mathbf{u}}_{\infty }={\mathbf{u}}_{\infty }$ 表明 ${\mathbf{u}}_{\infty }$ 为对应了特征值为 $1$ 的特征向量：$$\begin{array}{c}稳定状态\\ \text{Steady state}\end{array}\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.3\\ 0.2& 0.7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.4\end{array}\right]={\mathbf{u}}_{\infty }$$左乘 $A$ 不会改变 ${\mathbf{u}}_{\infty }$，但是这还不能解释为什么那么多的向量 ${\mathbf{u}}_0$ 一直用 $A$ 左乘最终收敛于 ${\mathbf{u}}_{\infty }$. 其它的例子也可能会有一个稳态，但是却没那么吸引人：$$不是马尔可夫矩阵B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]有一个不那么吸引人的稳态B\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$这种情形，如果将初始向量 ${\mathbf{u}}_0=(0,1)$ 将会得出 ${\mathbf{u}}_1=(0,2)$ 和 ${\mathbf{u}}_2=(0,4)$，第二个分量每次都翻倍。用特征值的语言来描述，$B$ 有一个特征值 $\lambda =1$，同时也有一个特征值 $\lambda =2$，而后一个特征值产生了不稳定性。${\mathbf{u}}_0$ 沿着不稳定特征向量的分量会一直乘 $\lambda$，而 $|\lambda |>1$ 意味着会爆炸。
这一节是讨论确保 $A$ 有稳定状态的两个特殊性质，这些性质定义了一个正的马尔可夫矩阵，上面的 $A$ 就是一个特例：

马尔可夫矩阵$\begin{array}{l}1、A的每个元素都是正的：a_{ij}>0\\ 2、A的每一列元素加起来都是1.\end{array}$

注： 需要注意的是，上述的定义是针对的是正的马尔可夫矩阵，而马尔可夫矩阵的性质 $1$ 仅要求元素非负。

上面的矩阵 $B$ 的第 $2$ 列加起来是 $2$，不是 $1$，所以它不是马尔可夫矩阵。当 $A$ 为马尔可夫矩阵时，可以立刻得到两个事实：
由性质 $1$：$A$ 左乘 ${\mathbf{u}}_0\ge 0$ 会得到一个非负向量 ${\mathbf{u}}_1=A{\mathbf{u}}_0\ge 0$.
由性质 $2$：如果 ${\mathbf{u}}_0$ 的分量相加为 $1$，则 ${\mathbf{u}}_1=A{\mathbf{u}}_0$ 分量的和也为 $1$.
原因： 当 $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]$${\mathbf{u}}_0=1$ 时，${\mathbf{u}}_0$ 分量的和为 $1$. 由性质 $2$ 可知这对 $A$ 的每一列都成立，则由矩阵乘法 $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]$：$$A{\mathbf{u}}_0分量的和为1\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]A{\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]{\mathbf{u}}_0=1$$这个事实同样可以用在 ${\mathbf{u}}_2=A{\mathbf{u}}_1$ 和 ${\mathbf{u}}_3=A{\mathbf{u}}_2$ 上。所以可知每个向量 $A^k{\mathbf{u}}_0$ 都是非负的，且它的分量求和都为 $1$. 这些是 “概率向量 probability vectors”，极限 ${\mathbf{u}}_{\infty }$ 也是一个概率向量 —— 但是我们还需要证明这个极限存在。后面会证明对于一个正的马尔可夫矩阵有 ${\lambda }_{\text{max}}=1$.

【例1】设丹佛（Denver）的租用车占全国的比例开始为 $\frac{1}{50}=0.02$，丹佛外的地方占比为 $0.98$. 每个月丹佛的汽车有 $80\%$ 留在丹佛，另外 $20\%$ 会离开；同时丹佛外的汽车会有 $5\%$ 进入丹佛，另外 $95\%$ 仍然留在丹佛外。这表明每个月结束，丹佛和丹佛以外的汽车占全国汽车的比例都用矩阵 $A$ 左乘一次 ${\mathbf{u}}_0=(0.02,0.98)$：$$第一个月由A=\left[\begin{array}{cc}0.80& 0.05\\ 0.20& 0.95\end{array}\right]推出{\mathbf{u}}_1=A{\mathbf{u}}_0=A\left[\begin{array}{c}0.02\\ 0.98\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.065\\ 0.935\end{array}\right]$$注意到 $0.065+0.935=1$，表明所有的汽车都计入了。每一步都用 $A$ 左乘：$$下一个月{\mathbf{u}}_2=A{\mathbf{u}}_1=(0.09875,0.90125)=A^2{\mathbf{u}}_0$$由于 $A$ 是正的，那么所有的这些向量都是正的。每个向量 ${\mathbf{u}}_k$ 的分量加起来都为 $1$. 第一个分量从 $0.02$ 开始增长，表明汽车是在驶入丹佛。那么长时间以后会怎样呢？
这一节涉及了矩阵的幂。要理解 $A^k$，我们首先将其对角化，这是对角化最好的应用。$A^k$ 可能会很复杂，但是对角矩阵 ${\Lambda }^k$ 很简单，特征向量矩阵 $X$ 将它们联系了起来：$A^k=X{\Lambda }^k{X}^{-1}$. 马尔可夫矩阵的应用使用了特征值（在 $\Lambda$ 中）和特征向量 （在 $X$ 中）。下面证明 ${\mathbf{u}}_{\infty }$ 是 $A$ 特征值 $\lambda =1$ 对应的特征向量。
因为 $A$ 每列元素相加都等于 $1$，这表明什么也没失去，同时什么也没得到。比如我们移动租用汽车或人口，没有汽车或人口的突然出现（或消失）。如果向量的分量和为 $1$，那么用矩阵 $A$ 左乘这个向量该性质将会保持。那么现在的问题是在我们用矩阵 $A$ 左乘 $k$ 次后这个向量的分量是如何分布的 —— 这就导出了 $A^k$ 的性质。
解： $A^k{\mathbf{u}}_0$ 给出了在第 $k$ 个月后丹佛内和丹佛外汽车的比例。我们将 $A$ 对角化以理解 $A^k$ 的性质。$A$ 的特征值是 $\lambda =1$ 和 $0.75$（迹为 $1.75$）.$$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}A\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.8\end{array}\right]=1\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.8\end{array}\right],A\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]=0.75\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$$将起始向量 ${\mathbf{u}}_0$ 写成特征向量 ${\mathbf{x}}_1$ 和 ${\mathbf{x}}_2$ 的线性组合，这里系数分别为 $1$ 和 $0.18$：$$特征向量的线性组合{\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{c}0.02\\ 0.98\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.8\end{array}\right]+0.18\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$$现在用 $A$ 左乘 ${\mathbf{u}}_0$ 求出 ${\mathbf{u}}_1$，特征向量将分别乘上特征值 ${\lambda }_1=1$ 和 ${\lambda }_2=0.75$：$$每个{\mathbf{x}}_i都乘以对应的{\lambda }_i{\mathbf{u}}_1=1\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.8\end{array}\right]+(0.75)\cdot (0.18)\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$$每过一个月，向量 ${\mathbf{x}}_2$ 都会多乘一次 ${\lambda }_2=0.75$，而特征向量 $x_1$ 保持不变：$$k个月以后{\mathbf{u}}_k=A^k{\mathbf{u}}_0=1^k\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.8\end{array}\right]+(0.75{)}^k\cdot (0.18)\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$$这个等式就揭示了 ${\mathbf{u}}_k$ 的实质。特征值 $\lambda =1$ 对应的特征向量 ${\mathbf{x}}_1$ 是稳定状态。 另一个特征向量 ${\mathbf{x}}_2$ 最终会消失，因为它所对应的特征值 $|\lambda |<1$. 我们进行的步骤越多，就越接近 ${\mathbf{u}}_{\infty }=(0.2,0.8)$. 极限情况下，$\frac{2}{10}$ 的汽车在丹佛，而 $\frac{8}{10}$ 的汽车在丹佛外。这是马尔可夫链（Markov chains）的特征，即使初始向量 ${\mathbf{u}}_0=(0,1)$ 也是一样：

如果 $A$ 是一个正的马尔可夫矩阵（每个元素 $a_{ij}>0$，每列元素的和都为 $1$），则 ${\lambda }_1=1$ 是最大的特征值，其对应的特征向量 ${\mathbf{x}}_1$ 是稳定状态：若 ${\mathbf{u}}_0={\mathbf{x}}_1+c_2{\mathbf{x}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{x}}_n$，则$${\mathbf{u}}_k={\mathbf{x}}_1+c_2({\lambda }_2{)}^k{\mathbf{x}}_2+\cdots +c_n({\lambda }_n{)}^k{\mathbf{x}}_n总是趋于{\mathbf{u}}_{\infty }={\mathbf{x}}_1$$

第一点要明白的是，$\lambda =1$ 一定是 $A$ 的一个特征值。原因：$A-I$ 每列的元素相加为 $1-1=0$，则 $A-I$ 所有的行加起来是零行，所以这些行线性相关，那么 $A-I$ 是奇异的，它的行列式为零且 $\lambda =1$ 是 $A$ 的一个特征值。
第二点是没有满足 $|\lambda |>1$ 的特征值。因为若有这样的特征值，$A^k$ 将会一直增长。但是 $A^k$ 也是一个马尔可夫矩阵！即 $A^k$ 的元素均为正值，且每列元素之和仍然为 $1$（保留了列元素和为 $1$ 的这个性质） —— 这没有留下让元素变大的空间。
还有一些特征值 $|\lambda |=1$ 的这样的矩阵也受到很多关注。

【例2】由于特征值 ${\lambda }_2=-1$，所以矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ 没有稳定状态。
这个矩阵每个月都将丹佛内外的所有汽车互换。$A^k$ 交替等于 $A$ 和 $I$。第二个特征向量 ${\mathbf{x}}_2=(-1,1)$ 每一步都会乘上 ${\lambda }_2=-1$，它并不会变小，所以没有稳定状态。
假设 $A$ 或 $A$ 的任意次幂的元素都是正的 —— 不允许为零。在这种 “正则 regular” 或 “本原 primitive” 的情况下，$\lambda =1$ 是严格大于其它特征值的。当 $k\to \infty$ 时，幂 $A^k$ 趋于每列都为稳定状态的秩一矩阵。

【例3】（“每个人都移动 Everbody moves”）我们从三组人数（向量 ${\mathbf{u}}_0$）开始。每一步，第 $1$ 组一半的人数进入第 $2$ 组，另一半人数进入第 $3$ 组。另外两组也将各自的人数平分两半后分别进去其他两组。下面是从最初的人口 $p_1,p_2,p_3$ 经过第一步：$$新的人口{\mathbf{u}}_1=A{\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}{p}_2+\frac{1}{2}{p}_3\\ \frac{1}{2}{p}_1+\frac{1}{2}{p}_3\\ \frac{1}{2}{p}_1+\frac{1}{2}{p}_3\end{array}\right]$$$A$ 是一个马尔可夫矩阵，没有人口出生也没有人口死亡。$A$ 含有零元素，例 $2$ 中的零元素带来了麻烦，但是这个例子中在两步后，零元素从 $A^2$ 中消失了：$$两步矩阵{\mathbf{u}}_2=A^2{\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right]$$$A$ 的特征值是 ${\lambda }_1=1$（因为 $A$ 是马尔可夫矩阵），${\lambda }_2={\lambda }_3=\frac{1}{2}$. 对于 ${\lambda }_1=1$，特征向量 ${\mathbf{x}}_1=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ 会保持稳定状态。 当三组人数相等时，再经过 “平方-移动” 人数仍然相等。若起始向量 ${\mathbf{u}}_0=(8,16,32)$，马尔可夫链趋于稳定状态：$${\mathbf{u}}_0=\left[\begin{array}{c}8\\ 16\\ 32\end{array}\right]{\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}24\\ 20\\ 12\end{array}\right]{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}16\\ 18\\ 22\end{array}\right]{\mathbf{u}}_3=\left[\begin{array}{c}20\\ 19\\ 17\end{array}\right]$$第四步时 ${\mathbf{u}}_4$ 会出现将一个人分成两半的情况，这现实中不可能出现，但是这里假设人数可以为分数。每一步的总人口都是 $8+16+32=56$，稳定状态是 $56$ 乘 $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$，我们可以看到，这三组人数将趋近于它们的最终极限 $\frac{56}{3}$，但是永远不可能达到。
根据网站之间的链接数量可以创建一个马尔可夫矩阵 $A$，稳定状态 ${\mathbf{u}}_{\infty }$ 将给出谷歌的排名。谷歌通过跟随链接随机游走的方法得到 ${\mathbf{u}}_{\infty }$. 特征向量来自计算每个网站的访问比例 —— 这是一种快速计算稳定状态的方法。
第二个特征值的大小 $|{\lambda }_2|$ 控制着收敛到稳定状态的速度。

二、佩隆 - 弗罗贝尼乌斯定理

佩隆-弗罗贝尼乌斯定理（Perron-Frobenius Theorem）在研究矩阵稳定状态时起决定性的作用，该定理仅要求矩阵的所有元素 $a_{ij}\ge 0$，而没有要求列的和相加为 $1$. 这里证明最简单的情形：当所有的 $a_{ij}>0$ 时，任意的正矩阵 $A$（不需要是正定的！）.

$A>O$ 时的佩隆-弗罗贝尼乌斯定理$A\mathbf{x}={\lambda }_{\text{max}}\mathbf{x}中所有的数都是正的.$

证明： 证明的关键是考虑 $A\mathbf{x}\ge t\mathbf{x}$ 对某个非负向量 $\mathbf{x}$（$\mathbf{x}\ne 0$）成立的所有实数 $t$，这里允许不等式 $A\mathbf{x}\ge t\mathbf{x}$ 的目的是为了取得更多的正的候选的 $t$ 值。其上界 $t_{\text{max}}$（这样的值是可以取到的，因为 $t$ 是非空有上界的集合，一定存在上确界），我们先证明等式成立：$A\mathbf{x}=t_{\text{max}}\mathbf{x}$.
如果 $A\mathbf{x}\ge t_{\text{max}}\mathbf{x}$ 的等号不成立，我们在两端同时左乘 $A$，由于 $A$ 是正的，所以这将得到一个严格的不等式 $A^2\mathbf{x}>t_{\text{max}}A\mathbf{x}$，因此正向量 $\mathbf{y}=A\mathbf{x}$ 满足 $A\mathbf{y}>t_{\text{max}}\mathbf{y}$，这里 $t_{\text{max}}$ 可以增大，因为这和上一个 $t_{\text{max}}$ 并不一致。这个矛盾导推出等式 $A\mathbf{x}=t_{\text{max}}\mathbf{x}$ 成立，此时我们将得到一个特征值。由于等式左边为正，所以它的特征向量 $\mathbf{x}$ 为正。
下面证明没有比 $t_{\text{max}}$ 更大的特征值。假设 $A\mathbf{z}=\lambda \mathbf{z}$，由于 $\lambda$ 和 $\mathbf{z}$ 可能包含有负数或复数，我们对所有的分量取绝对值，则由三角不等式可得：$|\lambda ||\mathbf{z}|=|A\mathbf{z}|\le A|\mathbf{z}|$. 这里 $|\mathbf{z}|$ 表示的是一个非负的向量，所以 $|\lambda |$ 是一个可能的候选数 $t$，因此 $|\lambda |$ 比可能超过 $t_{\text{max}}$，即 ${\lambda }_{\text{max}}$ 就等于 $t_{\text{max}}$.

三、人口增长

将 $60$ 岁以下的人口按年龄分成三组：小于 $20$ 岁的，$20$ 到 $39$ 岁的，$40$ 到 $59$ 岁的。第 $T$ 年，这三组的人数分别为 $n_1,n_2,n_3$. 二十年以后，这三组的人数会出现改变，原因是：出生、死亡和衰老。

1. 生育（Reproduction）：$n_1^{\text{new}}=F_1{n}_1+F_2{n}_2+F_3{n}_3$ 给出了新的第一组的人口，都是新生人口；
2. 存活（Survial）：$n_2^{\text{new}}=P_1{n}_1$ 和 $n_3^{\text{new}}=P_2{n}_2$ 给出了新的第二组和第三组的人口。

$F_1,F_2$ 和 $F_3$（$F_2$ 最大）分别为这三个年龄组的生育率，可以用莱斯利矩阵（Leslie matrix）$A$ 来关联这些数据，设：$${\left[\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right]}^{\text{new}}=\left[\begin{array}{ccc}{F}_1& F_2& F_3\\ P_1& 0& 0\\ 0& P_2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0.04& 1.1& 0.01\\ 0.98& 0& 0\\ 0& 0.92& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right]$$这个形式是最简单的人口投影，每一步（$20$ 年）的矩阵 $A$ 都是相同的。在现实模型中，$A$ 会随着时间改变（因为环境或内部因素）。研究者可能会加入年龄大于 $60$ 岁的作为第四个年龄组，但这里不考虑这种情况。
矩阵 $A$ 满足 $A\ge O$，但是不满足 $A>O$. 而由于 $A^3>O$，正矩阵情形的佩隆-弗罗贝尼乌斯定理仍然有效。最大的特征值是 ${\lambda }_{\text{max}}\approx 1.06$. 我们假设中间组的人口从 $n_2=1$ 起始，以观察人口的变化：$$\text{eig}(A)=\begin{array}{c}1.06\\ -1.01\\ -0.01\end{array}{A}^2=\left[\begin{array}{ccc}1.08& 0.05& 0.00\\ 0.04& 1.08& 0.01\\ 0.90& 0& 0\end{array}\right]A^3=\left[\begin{array}{ccc}0.10& 1.19& 0.01\\ 0.06& 0.05& 0.00\\ 0.04& 0.99& 0.01\end{array}\right]$$为了快速的看出人口的变化，我们设 ${\mathbf{u}}_0=(0,1,0)$，经过一个 $20$ 年，中间组会生育 $1.1$ 同时存活 $0.92$，${\mathbf{u}}_1=(1.1,0,0.92)$ 对应 $A$ 的第 $2$ 列。再过 $20$ 年，${\mathbf{u}}_2=A{\mathbf{u}}_1=A^2{\mathbf{u}}_0$ 是 $A^2$ 的第 $2$ 列。开始的一些数据（短期内各组的人口）很大程度上依赖于 ${\mathbf{u}}_0$，但是无论起始向量是什么，渐进增长率 ${\lambda }_{\text{max}}$ 都是相同的。它对应的特征向量 $\mathbf{x}=(0.63,0.58,0.51)$ 表明这三组所有的人口数一起稳定增长。
上述模型肯定不是完全准确的，如果矩阵中的 $F_i$ 和 $P_i$ 变化 $10\%$，${\lambda }_{\text{max}}$ 会小于 $1$ 吗（这意味着人口灭绝）？由矩阵变化 $\Delta A$ 将导出特征值变化 $\Delta \lambda ={\mathbf{y}}^T(\Delta A)\mathbf{x}$. 这里的 $\mathbf{x}$ 和 ${\mathbf{y}}^T$ 分别是 $A$ 的右特征向量和左特征向量，即 $A\mathbf{x}=d\mathbf{x}$ 和 $A^T\mathbf{y}=\lambda \mathbf{y}$.

四、经济学中的线性代数：消耗矩阵

这里不会详细讲解经济学中的线性代数，只简单的介绍一下消耗矩阵（consumpution matrix）. 消耗矩阵表示的是每产出一个单位，每种的投入需要多少单位。这个描述的是经济学的制造业方面。
消耗矩阵： 有 $n$ 个工厂，如化学品、食品和石油等。为了生产 $1$ 单位的化学品需要 $0.2$ 单位的化学品、$0.3$ 单位食品和 $0.4$ 单位石油。将这些数放在消耗矩阵 $A$ 的第 $1$ 行：$$\left[\begin{array}{c}化学品产出\\ 食品产出\\ 石油产出\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.3& 0.4\\ 0.4& 0.4& 0.1\\ 0.5& 0.1& 0.3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}化学品投入\\ 食品投入\\ 石油投入\end{array}\right]$$第 $2$ 行表明生产食品的投入 —— 需要大量的化学品和食品，石油的消耗比较少。$A$ 的第 $3$ 行表明提炼 $1$ 单位的石油需要的投入。美国在 $1958$ 年实际的消耗矩阵包含 $83$ 个工厂，而 $1990$ 年的模型要更大、更精确。我们选择的消耗矩阵有一个方便使用的特征向量。
现在问题来了：这种经济能满足对化学品、食品和石油各自的需求 $y_1,y_2,y_3$ 吗？为了满足需求，投入 $p_1,p_2,p_3$ 必须要更高 —— 因为在生产 $\mathbf{y}$ 的过程中，消耗掉了一部分 $\mathbf{p}$. 投入为 $\mathbf{p}$，消耗的为 $A\mathbf{p}$，那么产出为 $\mathbf{p}-A\mathbf{p}$. 这个净产量就是可以满足外部的需求 $\mathbf{y}$（即需要产出的 $\mathbf{y}$）：

问题： 求一个向量 $\mathbf{p}$，使得 $\mathbf{p}-A\mathbf{p}=\mathbf{y}$ 即 $\mathbf{p}=(I-A{)}^{-1}\mathbf{y}$.

显然，对于线性代数的来说，就是确定 $I-A$ 是否可逆。但是这里有更多的限制，产出向量 $\mathbf{y}$ 是非负的，$A$ 也是非负的，$\mathbf{p}=(I-A{)}^{-1}\mathbf{y}$ 中的生产水平也要是非负的。真正的问题是：$$什么时候(I-A{)}^{-1}是一个非负矩阵？$$这是关于产出型经济对应的 $(I-A{)}^{-1}$ 的检验法，该经济可以满足任何需求。如果 $A$ 比 $I$ 小，则 $A\mathbf{p}$ 就会小于 $\mathbf{p}$，就会有足够的产出。如果 $A$ 太大，那么生产就消耗的太多，产出 $\mathbf{y}$ 的需求就无法满足。
“小” 或 “大” 是由 $A$ 最大的特征值 ${\lambda }_1$（正的）决定的：

• 如果 ${\lambda }_1>1$，则 $(I-A{)}^{-1}$ 有负元素
• 如果 ${\lambda }_1=1$，则 $(I-A{)}^{-1}$ 不存在
• 如果 ${\lambda }_1<1$，则 $(I-A{)}^{-1}$ 就是所需的非负矩阵

重点就是最后一个，推导时会使用一个表示 $(I-A{)}^{-1}$ 很棒的公式。数学中最重要的无穷级数是几何级数（geometric series） $1+x+x^2+\cdots$. 当 $-1<x<1$ 时，这个级数的和是 $\frac{1}{1-x}$；当 $x=1$ 时，级数为 $1+1+1+\cdots =\infty$；当 $|x|\ge 1$ 时，$x^n$ 的极限不为零，这个级数不会收敛。
表示 $(I-A{)}^{-1}$ 的公式是矩阵的几何级数（geometric series of matrices）:

$$几何级数\text{Geometricseries}(I-A{)}^{-1}=I+A+A^2+A^3+\cdots$$

如果级数 $S=I+A+A^2+A^3+\cdots$ 两边左乘 $A$，可以得到除了 $I$ 以外的同样的级数，因此 $S-AS=I$，即 $(I-A)S=I$. 如果该级数收敛，它的和为 $S=(I-A{)}^{-1}$. 如果 $A$ 所有的特征值都满足 $|\lambda |<1$，则级数 $S$ 收敛。
我们这种情况是 $A\ge O$，这个级数所有的项都是非负的，和为 $(I-A{)}^{-1}\ge O$.

【例4】矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.3& 0.4\\ 0.4& 0.4& 0.1\\ 0.5& 0.1& 0.3\end{array}\right]$ 最大的特征值 ${\lambda }_{\text{max}}=0.9$，则 $(I-A{)}^{-1}=\frac{10}{93}\left[\begin{array}{ccc}41& 25& 27\\ 33& 36& 24\\ 34& 23& 36\end{array}\right]$.
这个经济是产出型的。因为 ${\lambda }_{\text{max}}=0.9$，所以 $A$ 比 $I$ 要小。为了满足需求 $\mathbf{y}$，从投入 $\mathbf{p}=(I-A{)}^{-1}\mathbf{y}$ 开始，则 $A\mathbf{p}$ 就是生产时的消耗，剩余 $\mathbf{p}-A\mathbf{p}$，就是 $(I-A{)}^{-1}\mathbf{p}=\mathbf{y}$，满足了需求。

【例5】$A=\left[\begin{array}{cc}0& 4\\ 1& 0\end{array}\right]$ 最大的特征值 ${\lambda }_{\text{max}}=2$，则 $(I-A{)}^{-1}=-\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 1\end{array}\right]$.
这个消耗矩阵 $A$ 太大了，无法满足生产的需求，因为消耗要比产出更多。由于 ${\lambda }_{\text{max}}>1$，所以它对应的几何级数是 $I+A+A^2+\cdots$ 不会收敛到 $(I-A{)}^{-1}$. 事实上，这个级数不断增长，矩阵 $(I-A{)}^{-1}$ 是负矩阵。
同理，$1+2+4+\cdots$ 并不等于 $\frac{1}{1-2}=-1$，但这也不是完全错误！